Jak pokazać, że estymator jest spójny?

17

Czy wystarczy wykazać, że MSE = 0 jako n ? Przeczytałem również w swoich notatkach coś o Plim. Jak znaleźć plim i użyć go, aby pokazać, że estymator jest spójny?

Cierpliwość
źródło

Odpowiedzi:

19

EDYCJA: Naprawiono drobne błędy.

Oto jeden ze sposobów, aby to zrobić:

Estymator θ (nazwijmy to Tn ) jest spójny, jeśli zbiega się w prawdopodobieństwie do θ . Korzystanie z notacji

plimnTn=θ .

Matematyka oznacza zbieżność prawdopodobieństwa

limnP(|Tnθ|ϵ)=0ϵ>0 .

Najłatwiejszym sposobem wykazania zbieżności prawdopodobieństwa / spójności jest wywołanie nierówności Czebyszewa, która stwierdza:

P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2 .

A zatem,

.P(|Tnθ|ϵ)=P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2

Musisz więc pokazać, że przyjmuje wartość 0 jako n .E(Tnθ)2n

EDYCJA 2 : Powyższe wymaga, aby estymator był co najmniej asymptotycznie bezstronny. Jako G. Jay Kerns zaznacza, za estymator (na oszacowanie średniej jj ). T n jest tendencyjny zarówno dla skończonego n, jak i asymptotycznie, a jako . Jednak nie jest spójnym estymatorem .Tn=X¯n+3μTnnVar(Tn)=Var(X¯n)0nTnμ

EDYCJA 3 : Zobacz punkty kardynała w komentarzach poniżej.


źródło
1
@ G.JayKerns Bezstronność jest do tego niepotrzebna. Rozważmy . Snjest tendencyjnym estymatorem odchylenia standardowego, ale możesz użyć powyższego argumentu, aby pokazać, że jest on spójny. Sn=1n1i=1n(XiXn¯)2Sn
1
Wygląda dobrze (+1); i usunę moje wcześniejsze komentarze.
@ G.JayKerns Twoje komentarze były niezbędnym dodatkiem. Zawsze musimy upewnić się, że jesteśmy świadomi założeń, nad którymi pracujemy.
2
@MikeWierzbicki: Myślę, że musimy być bardzo ostrożni, zwłaszcza jeśli chodzi o to, co rozumiemy przez asymptotycznie bezstronny . Istnieją co najmniej dwa różne pojęcia, które często otrzymują tę nazwę, i ważne jest, aby je rozróżnić. Należy zauważyć, że ogólnie nie jest prawdą, że spójny estymator jest asymptotycznie bezstronny w tym sensie, że nawet gdy średnia θ n = E T n istnieje dla wszystkich n . Wiele osób nazywa zbieżność E T nθ bezstronnością w granicy lub przybliżoną bezstronnościąETnθθn=ETnnETnθ ... (cd.)
kardynał
1
Oczywiście, aby konsekwentny estymator był tendencyjny w granicy, zbieżność w musi zawieść, ponieważ E ( T n - θ ) 2 = V a r ( T n ) + ( θ n - θ ) 2 gdzie θ n = E T n . L2E(Tnθ)2=Var(Tn)+(θnθ)2θn=ETn
kardynał