Jaka jest autokorelacja dla przypadkowego spaceru?

Wydaje się, że jest naprawdę wysoki, ale jest to dla mnie sprzeczne z intuicją. Czy ktoś może wyjaśnić? Jestem bardzo zdezorientowany tą sprawą i doceniłbym szczegółowe, wnikliwe wyjaśnienie. Z góry dziękuję!

(Napisałem to jako odpowiedź na inny post, który został napisany jako duplikat tego, gdy go tworzyłem; pomyślałem, że opublikuję go tutaj, a nie wyrzucę. Wygląda na to, że mówi coś podobnego do Whubera odpowiedź, ale jest na tyle inna, że ​​ktoś może coś z tego wyciągnąć.)

Losowy spacer ma postać$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Zauważ, że$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Stąd .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Zauważ też, że$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

W konsekwencji .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Oznacza to, że powinieneś zobaczyć korelację wynoszącą prawie 1, ponieważ gdy tylko zacznie się powiększać, i są prawie dokładnie takie same - względna różnica między nimi jest zwykle niewielka.y t y t - $t$$y_t$$y_{t-1}$

Najłatwiej to zobaczyć, wykreślając vs. .y t - $y_t$$y_{t-1}$

Widzimy to teraz nieco intuicyjnie - wyobraź sobie, że spadł do (jak to widzieliśmy w mojej symulacji losowego marszu ze standardowym normalnym terminem hałasu). Wtedy będzie całkiem blisko ; może to być lub może to być ale prawie na pewno będzie w granicach kilku jednostek . Tak więc, gdy seria dryfuje w górę i w dół, wykres vs prawie zawsze będzie znajdować się w dość wąskim zakresie linii ... ale wraz ze wzrostem punkty będą obejmować większe i większe odcinki wzdłuż tego$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$linia (rozpiętość wzdłuż linii rośnie z , ale pionowa rozpiętość pozostaje w przybliżeniu stała); korelacja musi zbliżyć się do 1.$\sqrt{t}$

$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

---

Oto Rkod, który wytworzył obrazy.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))