Jaka jest autokorelacja dla przypadkowego spaceru?

11

Wydaje się, że jest naprawdę wysoki, ale jest to dla mnie sprzeczne z intuicją. Czy ktoś może wyjaśnić? Jestem bardzo zdezorientowany tą sprawą i doceniłbym szczegółowe, wnikliwe wyjaśnienie. Z góry dziękuję!

Baron
źródło

Odpowiedzi:

11

(Napisałem to jako odpowiedź na inny post, który został napisany jako duplikat tego, gdy go tworzyłem; pomyślałem, że opublikuję go tutaj, a nie wyrzucę. Wygląda na to, że mówi coś podobnego do Whubera odpowiedź, ale jest na tyle inna, że ​​ktoś może coś z tego wyciągnąć.)

Losowy spacer ma postaćyt=ja=1tϵja

Zauważ, żeyt=yt-1+ϵt

Stąd .Cov(yt,yt-1)=Cov(yt-1+ϵt,yt-1)=Var(yt-1)

Zauważ też, żeσt2)=Var(yt)=tσϵ2)

W konsekwencji .Corr(yt,yt-1)=σt-12)σt-1σt=σt-1σt=t-1t=1-1t1-12)t

Oznacza to, że powinieneś zobaczyć korelację wynoszącą prawie 1, ponieważ gdy tylko zacznie się powiększać, i są prawie dokładnie takie same - względna różnica między nimi jest zwykle niewielka.y t y t - 1tytyt-1

Najłatwiej to zobaczyć, wykreślając vs. .y t - 1ytyt-1

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Widzimy to teraz nieco intuicyjnie - wyobraź sobie, że spadł do (jak to widzieliśmy w mojej symulacji losowego marszu ze standardowym normalnym terminem hałasu). Wtedy będzie całkiem blisko ; może to być lub może to być ale prawie na pewno będzie w granicach kilku jednostek . Tak więc, gdy seria dryfuje w górę i w dół, wykres vs prawie zawsze będzie znajdować się w dość wąskim zakresie linii ... ale wraz ze wzrostem punkty będą obejmować większe i większe odcinki wzdłuż tegoyt-1-20yt-20-22-18,5-20ytyt-1y=xty=xlinia (rozpiętość wzdłuż linii rośnie z , ale pionowa rozpiętość pozostaje w przybliżeniu stała); korelacja musi zbliżyć się do 1.t

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
9

(x0,x1,x2),,xn)(x0,x1,,xn-1)(x1,x2),,xn).

xja+1xjaxjax0n(xja,xja+1)y=x±1y=x±11(n/2))2)=n/4R2)

R2)1-1n/4=1-4n.

n=1000R2)1-4/n

Postać


Oto Rkod, który wytworzył obrazy.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))
Whuber
źródło