Jak działa metoda transformacji odwrotnej?

Jak działa metoda inwersji?
Powiedzmy, że mam losową próbkę o gęstości powyżej a zatem z cdf na . Następnie metodą inwersji otrzymuję rozkład jako . f ( x ; θ ) = $X_1,X_2,...,X_n$ 0<x<1FX(x)=x1/θ(0,1)XF - 1 X(u)=u$f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$
$0<x<1$$F_X(x)=x^{1/\theta}$$(0,1)$$X$$F_X^{-1}(u)=u^\theta$

Więc czy ma rozkład ? Czy tak działa metoda inwersji?$u^\theta$$X$

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

Metoda jest bardzo prosta, więc opiszę ją prostymi słowami. Najpierw weźmy funkcję rozkładu skumulowanego jakiejś dystrybucji, z której chcemy próbkować. Funkcja przyjmuje jako dane wejściowe pewną wartość i mówi, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania . Więc x X ≤ $F_X$$x$$X \leq x$

odwrotność takiej funkcji funkcyjnej, przyjmowałby jako wejście i zwrócił . Zauważmy, że „s są rozłożone równomiernie - to może być wykorzystywane do pobierania próbek z każdego jeśli wiesz . Metoda nazywana jest próbkowaniem z transformacją odwrotną . Pomysł jest bardzo prosty: łatwo jest równomiernie próbkować wartości z , więc jeśli chcesz próbkować z jakiegoś , po prostu weź wartości i przekaż przez w celu otrzymania „s p x p F X F - 1 X U ( 0 , 1 ) F X u ∼ U ( 0 , 1 ) u F - 1 X$F_X^{-1}$$p$$x$$p$$F_X$$F_X^{-1}$$U(0, 1)$$F_X$$u \sim U(0, 1)$$u$$F_X^{-1}$$x$

lub w R (dla rozkładu normalnego)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Aby to zobrazować, spójrz na CDF poniżej, ogólnie myślimy o rozkładach w kategoriach spojrzenia na oś dla prawdopodobieństwa wartości z osi . W przypadku tej metody próbkowania robimy coś przeciwnego i zaczynamy od „prawdopodobieństw” i używamy ich do wybierania powiązanych z nimi wartości. Przy rozkładach dyskretnych traktujesz jako linię od do i przypisujesz wartości na podstawie tego, gdzie w tym wierszu leży punkt (np. jeśli lub jeśli do próbkowania z ).x U 0 1 u 0 0 ≤ u < 0,5 1 0,5 ≤ u ≤ 1 B e r n o u l l i ( 0,5 $y$$x$$U$$0$$1$$u$$0$$0 \leq u < 0.5$$1$$0.5 \leq u \leq 1$$\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

Niestety, nie zawsze jest to możliwe, ponieważ nie każda funkcja ma swoją odwrotność, np. Nie można użyć tej metody z rozkładami dwuwymiarowymi. Nie musi to być również najbardziej wydajna metoda we wszystkich sytuacjach, w wielu przypadkach istnieją lepsze algorytmy.

Pytasz także, jaki jest rozkład . Ponieważ jest odwrotnością , to i , więc tak, wartości uzyskane za pomocą takie metody mają ten sam rozkład, jak . Możesz to sprawdzić za pomocą prostej symulacjiF - 1 X F X F X ( F - 1 X ( u ) ) = u F - 1 X ( F X ( x ) ) = x $F_X^{-1}(u)$$F_X^{-1}$$F_X$$F_X(F_X^{-1}(u)) = u$$F_X^{-1}(F_X(x)) = x$$X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

Tak, ma rozkład .$U^θ$$X$

Przydałyby się dwa dodatkowe punkty intuicji dotyczące metody transformacji odwrotnej

(1) Aby zrozumieć, co tak naprawdę oznacza zapoznaj się z wykresem w odpowiedzi Tima, aby pomóc mi zrozumieć funkcję kwantylu (odwrotny CDF)$F^{-1}$

(2) [Proszę, po prostu zignoruj ​​poniższe, jeśli wprowadza więcej zamieszania zamiast przejrzystości]

Niech być dowolną zmienną losową (Ap) z ciągłym i wyłącznie zwiększenia ED . Następnie Uwaga na notację: jest rv Dlatego funkcja rv , jest sama rv. F F ( X ) ∼ Unif ( 0 , 1 ) X X F ( X $X$$F$

Na przykład, jeśli odrzucisz pytanie, aby mieć dostęp do i chcesz wygenerować standardowy mundur, to . Niech nazywają tę zmienną losową . Więc Wracając do Twojego pytania, masz za zadanie przeciwnie: do generowania z . Rzeczywiście $X$$X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$$U$

PS. Alternatywne nazwy tej metody to transformata całkowa prawdopodobieństwa, próbkowanie odwrotnej transformacji, transformacja kwantylowa oraz, w niektórych źródłach, „podstawowe twierdzenie o symulacji”.