Topologie, dla których zestaw rozkładów prawdopodobieństwa jest kompletny

Bardzo trudno mi było pogodzić moje intuicyjne rozumienie rozkładów prawdopodobieństwa z dziwnymi właściwościami, które posiadają prawie wszystkie topologie rozkładów prawdopodobieństwa.

Na przykład rozważmy losową zmienną : wybierz Gaussa wyśrodkowany na 0 z wariancją 1 i z prawdopodobieństwem , dodaj do wyniku. Sekwencja takich losowych zmiennych zbiegnie się (słabo i w całkowitej zmienności) do Gaussa wyśrodkowanego na 0 z wariancją 1, ale średnia z wynosi zawsze a wariancje zbiegają się do . Naprawdę nie lubię mówić, że ta sekwencja jest z tego powodu zbieżna.$X_n$$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

Zajęło mi sporo czasu, aby przypomnieć sobie wszystko, co zapomniałem o topologiach, ale w końcu zorientowałem się, co było dla mnie tak niezadowalające z takich przykładów: granica sekwencji nie jest umowną dystrybucją. W powyższym przykładzie granicą jest dziwny „Gaussian średniej 1 i nieskończonej wariancji”. W kategoriach topologicznych zestaw rozkładów prawdopodobieństwa nie jest kompletny pod słabym (i telewizyjnym i wszystkimi innymi topologiami, na które patrzyłem).

Następnie stoję przed następującym pytaniem:

• czy istnieje topologia taka, że ​​zestaw rozkładów prawdopodobieństwa jest kompletny?

• Jeśli nie, to czy ta nieobecność odzwierciedla interesującą właściwość zbioru rozkładów prawdopodobieństwa? Czy to tylko nudne?

Uwaga: sformułowałem moje pytanie dotyczące „rozkładów prawdopodobieństwa”. Nie można ich zamknąć, ponieważ można je konwertować na Diracs i takie tam, które nie mają pliku pdf. Ale środki wciąż nie są zamknięte w ramach słabej topologii, więc moje pytanie pozostaje

crossposted to mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

Patrząc na to pytanie z węższego punktu statystycznego (ogólny matematyczny problem topologiczny jest prawidłowy), dobrze znany jest fakt, że sekwencja momentów może nie zbiegać się z momentami rozkładu ograniczającego. To w zasadzie nie podważa automatycznie istnienia dobrze zachowującego się ograniczenia dystrybucji sekwencji.

Rozkład graniczny powyższej sekwencji jest dobrze zachowanym rozkładem ze skończonymi momentami. Jest to sekwencja chwil, które się nie zbiegają. Jest to jednak inna sekwencja , sekwencja złożona z funkcji naszych zmiennych losowych (całki, gęstości itp.), A nie sekwencji samych zmiennych losowych, których rozkładem granicznym jesteśmy zainteresowani.$\{X_n + n Bern(1/n)\}$$N(0,1)$