Intuicja za stopą hazardu

Jestem zdezorientowany co do równania, które służy jako definicja współczynnika ryzyka. Rozumiem, jaki jest współczynnik ryzyka, ale po prostu nie widzę, jak równanie wyraża tę intuicję.

Jeśli jest zmienną losową, która reprezentuje moment śmierci kogoś w przedziale czasu . Zatem współczynnik ryzyka wynosi:[ 0 , T $x$$[0,T]$

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Gdzie oznacza prawdopodobieństwo śmierci aż do punktu czasowego , oznacza prawdopodobieństwo przetrwały aż do punktu czasowego , i oznacza prawdopodobieństwo śmierci w punkcie .x ∈ [ 0 , T ] 1 - F ( x ) x ∈ [ 0 , T ] f ( x ) $F(x)$$x\in[0,T]$
$1-F(x)$$x\in[0,T]$
$f(x)$$x$

W jaki sposób dzielenie przez wskaźnik przeżycia wyjaśnia intuicję prawdopodobieństwa natychmiastowej śmierci w następnej ? Czy nie powinno to być po prostu , czyniąc obliczanie wskaźnika ryzyka banalnym?Δ t f ( x $f(x)$$\Delta t$$f(x)$

Niech oznacza czas śmierci (lub czas niepowodzenia, jeśli wolisz mniej chorobliwy opis). Załóżmy, że X jest ciągłą zmienną losową, której funkcja gęstości f ( t ) jest różna od zera tylko dla ( 0 , ∞ ) . Teraz zauważ, że musi być tak, że f ( t ) zanika do 0 jako t → ∞, ponieważ jeśli f ( t ) nie zanika, jak podano, to ∫ ∞ - ∞$X$$X$$f(t)$$(0,\infty)$$f(t)$$0$$t \to \infty$$f(t)$ nie może utrzymać. Tak więc, twój pogląd, żef(T)jest prawdopodobieństwo śmierci w czasieT (właściwie, tof(T)Δtto jest (w przybliżeniu) prawdopodobieństwo śmierci wkrótkimodstępie(T,T+Δt] z długośćΔt) prowadzi do nieprawdopodobnych i niewiarygodnych wniosków, takich jak$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$$f(T)$$T$$f(T)\Delta t$$(T, T+\Delta t]$$\Delta t$

Bardziej prawdopodobne jest, że umrzesz w ciągu następnego miesiąca, gdy masz trzydzieści lat, niż kiedy masz dziewięćdziesiąt osiem lat.

ilekroć jest takie, że f ( 30 ) > f ( 98 ) .$f(t)$$f(30) > f(98)$

Powodem, dla którego (lub f ( T ) Δ t ) jest „nie tak” prawdopodobieństwo patrzeć na to, że wartość f ( T ) ma znaczenie tylko dla tych, którzy żyją w wieku T (i nadal psychicznie wystarczająco czujny, aby regularnie czytać statystyki. SE!) Na co należy spojrzeć, to prawdopodobieństwo, że stary T -rok umrze w ciągu następnego miesiąca, to znaczy,$f(T)$$f(T)\Delta t$$f(T)$$T$$T$

$$\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$$

Wybór być dwa tygodnie, tydzień, dzień, godzina, minuta, itd. Możemy dojść do wniosku, że przycisk (chwilowa) wskaźnik zagrożenia dla danego T -year stary jest$\Delta t$$T$

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

w tym sensie, że w przybliżeniu prawdopodobieństwo śmierci w następnym femtosekundowego z T -year stary jest f ( T ) Δ $(\Delta t)$$T$$\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do gęstości całkującej z 1 , całka ∫ ∞ 0 h ( t $f(t)$$1$ musi się różnić. Wynika to z faktu, że CDFF(t)jest powiązany ze współczynnikiem ryzyka poprzez$\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

a ponieważ lim t → ∞ F(t)=1, musi to być ten lim t → ∞ ∫ t 0 h(τ

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ $\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$ lub bardziej formalnie, całka współczynnika ryzykamusi sięróżnić: nie mapotencjalnejrozbieżności, jak twierdzono w poprzedniej edycji. $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$

Typowe stawki hazardu zwiększają funkcje czasu, ale możliwe są stałe stawki hazardu (wykładnicze czasy życia). Oba te rodzaje wskaźników ryzyka mają oczywiście rozbieżne całki. Mniej powszechnym scenariuszem (dla tych, którzy wierzą, że wraz z wiekiem sytuacja się poprawia), podobnie jak w przypadku dobrego wina, jest wskaźnik ryzyka, który z czasem maleje, ale na tyle wolno, że całka się rozchodzi.

Wyobraź sobie, że interesuje Cię występowanie (pierwszego) małżeństwa dla mężczyzn. Aby spojrzeć na częstotliwość występowania małżeństwa w wieku 20 lat, powiedzmy, że wybrałbyś próbkę osób, które nie są małżeństwem w tym wieku i sprawdził, czy pobiorą się w ciągu następnego roku (przed ukończeniem 21 lat).

Można uzyskać szacunkowe dla jako odsetek osób, które pobraliśmy próbki z pojedynczych 20-latków, czyli N ( m r r i e

$$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$$ $$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$$

Zasadniczo jest to po prostu definicja prawdopodobieństwa warunkowego,

$$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$$ $T$ $$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$$

$t$

$$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$$

$f(x)$nie jest prawdopodobieństwem śmierci, ale gęstością prawdopodobieństwa; spodziewana liczba zgonów w ciągu następnej jednostki czasu, jeśli gęstość prawdopodobieństwa pozostała stała w tej jednostce czasu.

Zauważ, że jest problem: prawdopodobieństwo śmierci, gdy już umarłeś wcześniej, jest dość problematyczne. Dlatego bardziej sensowne jest obliczenie prawdopodobieństwa śmierci pod warunkiem, że do tej pory przeżyło.$1-F(t)$ to prawdopodobieństwo, że przeżyje do $t$, dzieląc gęstość prawdopodobieństwa przez to prawdopodobieństwo, otrzymamy oczekiwaną liczbę przypadków śmierci w ciągu najbliższej jednostki czasu, pod warunkiem że wcześniej nie umarliśmy. To jest współczynnik ryzyka.