Załóżmy, że jest równomiernie rozmieszczony na . Niech i . Pokaż, że korelacja między i wynosi zero.
Wydaje się, że musiałbym znać standardowe odchylenie sinus i cosinus oraz ich kowariancję. Jak mogę je obliczyć?
Myślę, że muszę założyć, że ma rozkład równomierny, a spojrzenie na zmienione zmienne i . Wówczas prawo nieświadomego statystyki dałoby oczekiwaną wartość
i
(gęstość jest stała, ponieważ jest równomiernym rozkładem i dlatego można ją wyprowadzić z całki).
Jednak te całki nie są zdefiniowane (ale myślę, że mają podstawowe wartości Cauchy'ego równe zero).
Jak mogę rozwiązać ten problem? Wydaje mi się, że znam rozwiązanie (korelacja wynosi zero, ponieważ sinus i cosinus mają przeciwne fazy), ale nie mogę znaleźć sposobu, aby je uzyskać.
correlation
variance
random-variable
expected-value
nieuczciwy
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Od
korelacja musi również wynosić 0.
źródło
I naprawdę jak na @ whuber argumentu z symetrii i nie ma to być utracone w komentarzu, więc tutaj jest trochę opracowania.
Rozważ losowy wektor , gdzie , a , dla . Następnie, ponieważ parametryzuje okrąg jednostkowy według długości łuku, rozkłada się równomiernie na okręgu jednostkowym. W szczególności rozkład jest taki sam jak rozkład . Ale wtedy(X,Y) X=cos(U) Y=sin(U) U∼U(0,2π) θ↦(cos(θ),sin(θ)) (X,Y) (−X,Y) (X,Y)
więc musi być tak, że .Cov(X,Y)=0
Po prostu piękny geometryczny argument.
źródło