Tożsamość funkcji generujących moment

Czy istnieją jakieś nieidentyczne rozkłady, które mają tę samą funkcję generowania momentu?

Tak.

W ćwiczeniu Stuart & Ord ( zaawansowane Teoria Kendalla Statystyczny .., 5th Ed, Wj 3,12) zacytować 1918 wynik TJ Stieltjes (który podobno pojawia się w jego Oeuvres uzupełnia , ):

Jeśli jest nieparzystą funkcją okresu , pokaż to$f$$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

dla wszystkich wartości całkowitych . Stąd pokazują, że rozkłady$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

mają te same chwile niezależnie od wartości .$\lambda$

(W oryginale pojawia się tylko jako ; ograniczenie wielkości wynika z wymogu zachowania wszystkich wartości funkcji gęstości nieujemnych.) Ćwiczenie można łatwo rozwiązać poprzez podstawienie i wypełnienie kwadratu. Przypadek jest dobrze znanym rozkładem logarytmicznym .λ λ d F x = exp ( y ) λ = $|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

Niebieska krzywa odpowiada , logarytmicznemu rozkładowi. Dla czerwonej krzywej a dla złotej krzywej .λ = - 1 / 4 λ = 1 /$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$