Czy dwie standardowe normalne zmienne losowe są zawsze niezależne?

Dowiedziałem się, że standardowy rozkład normalny jest unikalny, ponieważ średnia i wariancja są ustalone odpowiednio na 0 i 1. Przez ten fakt zastanawiam się, czy jakieś dwie standardowe zmienne losowe muszą być niezależne.

Odpowiedź brzmi nie. Na przykład, jeśli jest standardową zmienną losową, to Y = - X następuje te same statystyki, ale X i Y są wyraźnie zależne.$X$$Y=-X$$X$$Y$

Nie, nie ma powodu, aby sądzić, że dowolne dwa standardowe gaussowie są niezależne.

Oto prosta konstrukcja matematyczna. Załóżmy, że i Y to dwie niezależne standardowe zmienne normalne. Potem para$X$$Y$

to dwie zależne standardowe zmienne normalne. Tak długo, jak długo są to dwie niezależne zmienne normalne, muszą istnieć dwie zależne .

Druga zmienna jest normalna, ponieważ każda liniowa kombinacja niezależnych zmiennych normalnych jest znowu normalna. $\sqrt{2}$ ma na celu uczynienie wariancji równą .$1$

Intuicyjnie są one zależne, ponieważ znają wartość $X$ daje dodatkowe informacje, których możesz użyć, aby przewidzieć wartość drugiej zmiennej. Na przykład, jeśli wiesz, że , to warunkowe oczekiwanie drugiej zmiennej to$X = x$

Oto dość szeroka odpowiedź:

Niech wspólnie Gaussa zmienne losowe (czyli dla każdego a , b liczb rzeczywistych, X + b Y ma rozkład Gaussa). Wówczas X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] = 0 (tzn. Są nieskorelowane). Zobacz na przykład te uwagi , aby uzyskać szczegółowe informacje.$X,Y$$a,b$$a X + bY$$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$$(\lambda-1)^2 - p^2$$\lambda$$\Sigma= R R^T$$U,V$$R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$$p=0$

Nie dwuwymiarowy normalny przykład (jak sugeruje Michael Chernick w komentarzach):

$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$