Dowód, że jeśli istnieje wyższy moment, wówczas również istnieje niższy moment

-ty moment zmiennej losowej jest skończony , jeśli $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Próbuję pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej , wtedy -ty moment jest również skończony. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function nona
źródło

Czy to zadanie domowe? Jeśli tak, to czego próbowałeś do tej pory? Ponadto starałem się, aby twoje pytanie było bardziej czytelne, daj mi znać, jeśli popełniłem błąd.

Gschneider

Czytam podręcznik Billingsleya i przeszukuję internet, ale nie ma dokładnego dowodu. To, co znalazłem, to tylko wskazówka, być może można wykorzystać nierówność Jensen.

nona

Rozważ przepisaniejakoi sprawdź, czy to cię gdzieś zaprowadzi.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

Gschneider

Istnieje różnica między chwilą istniejącą a byciem skończonym . W szczególności może istnieć chwila, ale być nieskończona. Terminologia, z którą się zapoznasz jest nieco nieprecyzyjna. W każdym razie jest to standardowy wynik dotyczący przestrzeni ; nie jest prawdą, że „nie istnieje dokładny dowód”. :)

L_{p}

$L_p$

kardynał

Odpowiedzi:

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

StasK
źródło

W porządku. Możesz to również udowodnić za pomocą nierówności Jensena.

Stéphane Laurent,

(+1) Podoba mi się to, ponieważ opiera się tylko na najbardziej podstawowych właściwościach oczekiwania, a mianowicie monotoniczności. Jeśli martwisz się, co zrobić z prawą stroną, możesz zauważyć, że . Jeśli ktoś woli aplikację Jensena, może napisać i zauważyć, że .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

kardynał

@cardinal: (+1) Wolę twoją nierówność, ponieważ bezpośrednio dotyczy ona ...

| X |^{r}

$|X|^r$

Xi'an