Jeffreys przed prawdopodobieństwem dwumianowym

10

Jeśli użyję wcześniej Jeffreysa dla dwumianowego parametru prawdopodobieństwa oznacza to użycie rozkładu .θθbeta(1/2,1/2)

Jeśli przekształcę się w nowy układ odniesienia wówczas wyraźnie nie będzie również dystrybuowane jako rozkład .ϕ=θ2ϕbeta(1/2,1/2)

Moje pytanie brzmi: w jakim sensie Jeffreys był niezmienny przed reparametryzacją? Myślę, że nie rozumiem tematu szczerze mówiąc ...

Najlepsza,

Ben

ben18785
źródło
6
Przepaść Jeffreysa jest niezmienna w tym sensie, że rozpoczęcie od przeszczepu Jeffreysa dla jednej parametryzacji i uruchomienie odpowiedniej zmiany zmiennej jest identyczne z uzyskaniem wcześniejszego Jeffreysa dla tej nowej parametryzacji. W rzeczywistości ekwiwariant byłby właściwszym terminem niż niezmiennik .
Xi'an
@ ben18785: spójrz na stats.stackexchange.com/questions/38962/…
Zen.
Zobacz także math.stackexchange.com/questions/210607/… (mniej więcej to samo pytanie, ale myślę, że na innej stronie).
Nathaniel
Zobacz także stats.stackexchange.com/questions/139001/...
Christoph Hanck

Odpowiedzi:

16

Pozwala ϕ=g(θ), gdzie g jest funkcją monotoniczną θ i pozwól h być odwrotnością g, tak że θ=h(ϕ). Możemy uzyskać wcześniejszą dystrybucję JeffreyapJ(ϕ) na dwa sposoby:

  1. Zacznij od modelu dwumianowego (1) sparametryzuj model za pomocą aby uzyskać i uzyskaj wcześniejszą dystrybucję Jeffrey'a dla tego modelu.
    p(y|θ)=(ny)θy(1θ)ny
    ϕ=g(θ)
    p(y|ϕ)=(ny)h(ϕ)y(1h(ϕ))ny
    pJ(ϕ)
  2. Uzyskaj wcześniejszy rozkład Jeffrey'a z oryginalnego dwumianowego modelu 1 i zastosuj wzór zmiany zmiennych, aby uzyskać indukowaną wcześniejszą gęstość napJ(θ)ϕ
    pJ(ϕ)=pJ(h(ϕ))|dhdϕ|.

Zachowanie niezmienności w stosunku do ponownej parametryzacji oznacza, że ​​gęstości uzyskane w obu kierunkach powinny być takie same. Przeor Jeffreya ma tę cechę [Referencje: Pierwszy kurs bayesowskich metod statystycznych P. Hoffa ]pJ(ϕ)

Aby odpowiedzieć na twój komentarz. Aby uzyskać wcześniejszą dystrybucję Jeffrey'a z prawdopodobieństwa dla modelu dwumianowego musimy obliczyć informacje Fishera, biorąc logarytm prawdopodobieństwa i obliczyć drugą pochodną i informacje Fishera są pJ(θ)

p(y|θ)=(ny)θy(1θ)ny
ll
l:=log(p(y|θ))ylog(θ)+(ny)log(1θ)lθ=yθny1θ2lθ2=yθ2ny(1θ)2
I(θ)=E(2lθ2|θ)=nθθ2+nnθ(1θ)2=nθ(1θ)θ1(1θ)1.
Prior od Jeffrey'a dla tego modelu to czyli .
pJ(θ)=I(θ)θ1/2(1θ)1/2
beta(1/2,1/2)

Marko Lalović
źródło
1
Dzięki za odpowiedź. Boję się, że jestem trochę powolny. W jakim sensie możemy uzyskać przeor z prawdopodobieństwa? Są to dwie osobne rzeczy, a ta ostatnia nie implikuje pierwszej ...
ben18785 24.04.17
4
Odpowiedziałem powyżej, uzyskując wcześniejsze Jeffrey'a z prawdopodobieństwa dla modelu dwumianowego. pJ(θ)
Marko Lalović