Oczekiwana wartość logarytmiczna niecentralnego rozkładu wykładniczego

9

Załóżmy, że jest niecentralny rozkład wykładniczy z lokalizacją i współczynnikiem . Co to jest .XkλE(log(X))

Wiem, że dla odpowiedź brzmi gdzie jest stałą Eulera-Mascheroniego. A co, gdy ?k=0log(λ)γγk>0

Neil G.
źródło
Czy próbowałeś zintegrować się z Mathematica?
4
Zakładam, że (gdy gęstość jest zapisana jako ,) w przeciwnym razie z prawdopodobieństwem> 0, z przerażającymi konsekwencjami dla . k>0λexp{λ(xk)}x<0Elogx
jbowman
2
Mam . Mathematica jest szybsza, jeśli użyjesz polecenia do określenia przestrzeni parametrów. E[log(X)]=ekλΓ(0,kλ)+log(k)Assumptions
4
Czy górna niepełna funkcja gamma liczy się jako forma zamknięta ? (Dla mnie tak nie jest.) Po prostu wygodnie ukrywa się całkę za pomocą notacji.
kardynał
2
@NeilG To jest kod Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Możesz po prostu skopiować go i wkleić do pliku .nb. Nie jestem pewien, czy Wolfram Alpha pozwala na uwzględnienie ograniczeń.

Odpowiedzi:

11

Pożądaną całkę można zmusić do poddania się za pomocą manipulacji brutalną siłą; tutaj zamiast tego staramy się dać alternatywną pochodną o nieco bardziej probabilistycznym smaku.

Niech będzie niecentralną wykładniczą zmienną losową o parametrze lokalizacji i parametrze częstości . Następnie gdzie .XExp(k,λ)k>0λX=Z+kZExp(λ)

Zauważ, że i tak, wykorzystując standardowy fakt do obliczenia oczekiwanych nieujemnych zmiennych losowych , Ale na od i tak gdzie ostatnia równość wynika z podstawienialog(X/k)0

Elog(X/k)=0P(log(X/k)>z)dz=0P(Z>k(ez1))dz.
P(Z>k(ez1))=exp(λk(ez1))z0ZExp(λ)
Elog(X/k)=eλk0exp(λkez)dz=eλkλkt1etdt,
t=λkez, zauważając, że .dz=dt/t

Całka po prawej stronie ostatniego wyświetlacza to po prostu z definicji, a więc co potwierdza obliczenie Mathematica @ Procrastinator w komentarzach do pytania.Γ(0,λk)

ElogX=eλkΓ(0,λk)+logk,

NB : Równoważna notacja jest również często używana zamiast .E1(x)Γ(0,x)

kardynał
źródło
4
+1 @Michael Chernick Wygląda na to, że nie wszyscy są leniwi;).
To jest naprawdę świetne. Chciałbym tylko zwrócić uwagę na każdego, kto to wdraża, że ​​wiele implementacji niekompletnej funkcji gamma ogranicza pierwszy parametr do ściśle pozytywnego. Tożsamość rozwiązuje ten drobny problem. Γ(0,z)=Ei(z)
Neil G