Załóżmy, że jest niecentralny rozkład wykładniczy z lokalizacją i współczynnikiem . Co to jest .
Wiem, że dla odpowiedź brzmi gdzie jest stałą Eulera-Mascheroniego. A co, gdy ?
mean
expected-value
integral
Neil G.
źródło
źródło
Assumptions
Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]
. Możesz po prostu skopiować go i wkleić do pliku .nb. Nie jestem pewien, czy Wolfram Alpha pozwala na uwzględnienie ograniczeń.Odpowiedzi:
Pożądaną całkę można zmusić do poddania się za pomocą manipulacji brutalną siłą; tutaj zamiast tego staramy się dać alternatywną pochodną o nieco bardziej probabilistycznym smaku.
Niech będzie niecentralną wykładniczą zmienną losową o parametrze lokalizacji i parametrze częstości . Następnie gdzie .X∼Exp(k,λ) k>0 λ X=Z+k Z∼Exp(λ)
Zauważ, że i tak, wykorzystując standardowy fakt do obliczenia oczekiwanych nieujemnych zmiennych losowych , Ale na od i tak gdzie ostatnia równość wynika z podstawienialog(X/k)≥0
Całka po prawej stronie ostatniego wyświetlacza to po prostu z definicji, a więc co potwierdza obliczenie Mathematica @ Procrastinator w komentarzach do pytania.Γ(0,λk)
NB : Równoważna notacja jest również często używana zamiast .E1(x) Γ(0,x)
źródło