Czy wariancja sumy jest równa sumie wariancji?

Czy to (zawsze) prawda, że

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

Odpowiedź na twoje pytanie brzmi „czasami, ale nie ogólnie”.

Aby to zobaczyć, niech będą zmiennymi losowymi (ze skończonymi wariancjami). Następnie,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Teraz zauważ, że , co jest jasne, jeśli pomyśl o tym, co robisz, obliczając ręcznie . W związku z tym,$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

podobnie,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

więc

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

z definicji kowariancji.

Teraz dotyczy Czy wariancja sumy jest równa sumie wariancji? :

• Jeśli zmienne są nieskorelowane, tak : to znaczy dla , a następnie${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Jeśli zmienne są skorelowane, nie, nie ogólnie : Załóżmy na przykład, że są dwiema losowymi zmiennymi, z których każda ma wariancję i gdzie . Następnie , więc tożsamość nie powiedzie się.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• ale jest to możliwe w przypadku niektórych przykładów : Załóżmy że mają macierz kowariancji następnie$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Dlatego jeśli zmienne są nieskorelowane, wówczas wariancja sumy jest sumą wariancji, ale odwrotnie nie jest ogólnie prawdą.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Tak więc, jeśli kowariancje średnio wynoszą , co byłoby konsekwencją, gdyby zmienne były nieskorelowane parami lub były niezależne, wówczas wariancja sumy jest sumą wariancji.$0$

Przykład, w którym nie jest to prawdą: Niech . Niech . Następnie .X 2 = X 1 Var ( X 1 + X 2 ) = Var ( 2 X 1 ) = $\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Chciałem tylko dodać bardziej zwięzłą wersję dowodu podanego przez Macro, więc łatwiej jest zobaczyć, co się dzieje. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Zauważ, że ponieważ$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Dla dwóch dowolnych zmiennych losowych mamy:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Zasadniczo zatem wariancja sumy dwóch zmiennych losowych nie jest sumą wariancji. Jeśli jednak są niezależne, to , a mamy .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Zauważ, że możemy wygenerować wynik dla sumy zmiennych losowych za pomocą prostej indukcji.$n$

Tak, jeśli każda para jest nieskorelowana, to prawda.$X_i$

Zobacz wyjaśnienie na Wikipedii