Dlaczego statystyka T potrzebuje danych do normalnego rozkładu

Patrzyłem na ten zeszyt i zastanawia mnie to stwierdzenie:

Kiedy mówimy o normalności, mamy na myśli, że dane powinny wyglądać jak rozkład normalny. Jest to ważne, ponieważ polega na tym kilka testów statystycznych (np. Statystyki t).

Nie rozumiem, dlaczego statystyka T potrzebuje danych do normalnego rozkładu.

Rzeczywiście Wikipedia mówi to samo:

Rozkład t-Studenta (lub po prostu rozkład t) to dowolny członek rodziny ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, który powstaje przy szacowaniu średniej populacji normalnie rozłożonej

Nie rozumiem jednak, dlaczego to założenie jest konieczne.

Nic z jego formuły nie wskazuje mi, że dane muszą mieć normalny rozkład:

Spojrzałem trochę na jego definicję, ale nie rozumiem, dlaczego warunek jest konieczny.

Wymagane informacje znajdują się w sekcji „Charakterystyka” na stronie Wiki . -Dystrybucja ze stopniami swobody można zdefiniować jako rozkładu zmiennej losowej w taki sposób, gdzie to rozkładu normalnego zmienna losowa, a jest zmienną losową o stopniach swobody . Ponadto i muszą być niezależne. Biorąc pod uwagę dowolne i zgodne z powyższą definicją, możesz następnie uzyskać losową zmienną, która ma$t$$\nu$$T$

$$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \,,$$ $Z$$V$$\chi^2$$\nu$$Z$$V$$Z$$V$$t$ dystrybucja.

Teraz załóżmy, rozpowszechniany jest zgodnie z rozkładem . Niech ma średnią i wariancję . Niech będzie średnią próbną, a będzie wariancją próbkową. Następnie przyjrzymy się formułom:$X_1, X_2, \dots, X_n$$F$$F$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X}$$S^2$

$$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \dfrac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}} \,.$$

Jeśli oznacza rozkład normalny, to , a zatem . Ponadto według Twierdzenia Cochrana . Wreszcie zastosowaniu twierdzenia Basu w , a są niezależne. Oznacza to, że uzyskana statystyka ma rozkład z stopniami swobody.$F$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$\bar{X}$$S^2$$t$$n-1$

Jeśli pierwotny rozkład danych nie był normalny, wówczas dokładny rozkład licznika i mianownika nie będzie odpowiednio standardowy normalny i , a zatem uzyskane statystyki nie będą miały rozkładu .$F$$\chi^2$$t$

Myślę, że może być pewne zamieszanie między statystyką i jej formułą, a rozkładem i jej formułą. Możesz zastosować formułę statystyki t do dowolnego zestawu danych i uzyskać „statystykę t”, ale ta statystyka nie będzie dystrybuowana zgodnie z rozkładem t-ucznia, chyba że dane pochodzą z rozkładu normalnego (a przynajmniej nie będą gwarantuję, że tak; przypuszczam, że niestandardowe rozkłady nie wytworzą rozkładu t-studenta, gdy zastosowana zostanie formuła t-statystyki, ale nie jestem tego pewien). Powodem tego jest po prostu to, że rozkład statystyki t jest obliczany na podstawie rozkładu danych, które ją wygenerowały, więc jeśli masz inny podstawowy rozkład, to nie masz gwarancji, że masz taki sam rozkład dla statystyk pochodnych.