Średni czas przeżycia dla logarytmicznej funkcji przeżycia

Znalazłem wiele wzorów pokazujących, jak znaleźć średni czas przeżycia dla rozkładu wykładniczego lub Weibulla, ale mam znacznie mniej szczęścia dla funkcji przeżycia logarytmicznych.

Biorąc pod uwagę następującą funkcję przeżycia:

S. (t) = 1 - ϕ [\frac{\ln (t) - μ}{σ}]

$S(t) = 1 - \phi \left[ {{{\ln (t) - \mu } \over \sigma }} \right]$

Jak znaleźć średni czas przeżycia. Jak rozumiem, $\sigma$ jest szacowanym parametrem skali, a exp ( $\beta$ ) z parametrycznego modelu przeżycia to $\mu$ . Chociaż myślę, że mogę nim manipulować symbolicznie, aby uzyskać wszystko samo po ustawieniu S (t) = 0,5, to co mnie szczególnie prześladuje, to jak obsługiwać $\phi$ w czymś takim jak R, gdy w rzeczywistości sprowadza się to do wprowadzenia wszystkich oszacowań i uzyskania średni czas

Do tej pory generowałem funkcję przeżycia (i powiązane krzywe):

beta0 <- 2.00
beta1 <- 0.80
scale <- 1.10

exposure <- c(0, 1)
t <- seq(0, 180)
linmod <- beta0 + (beta1 * exposure)
names(linmod) <- c("unexposed", "exposed")

## Generate s(t) from lognormal AFT model

s0.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["unexposed"]) / scale)
s1.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["exposed"]) / scale)

## Plot survival
plot(t,s0.lnorm,type="l",lwd=2,ylim=c(0,1),xlab="Time",ylab="Proportion Surviving")
lines(t,s1.lnorm,col="blue",lwd=2)

Co daje następujące efekty:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

survival Fomite
źródło

Myślę, że masz na myśli „średni czas przeżycia”, a nie „średni czas przeżycia”. Średni czas przeżycia można łatwo ustalić na .

t_{med} = e x p (μ)

$t_{\textrm{med}} = exp(\mu)$

ocram

@ocram - Cóż, to było ... łatwe. Przekształć to w odpowiedź, a ja zaakceptuję. Jednak z ciekawości, dlaczego zakładasz, że mam na myśli raczej „medianę” niż „wredną”?

Fomite

Jeśli miałeś na myśli średnią, a nie medianę, nie ustawiasz S (t) = 0,5. Logarytm normalny jest bardzo wypaczonym rozkładem, a średnia i mediana różnią się. Średni czas przeżycia jest bardziej skomplikowany niż mediana.

Michael R. Chernick,

@EpiGard: Przyjąłem raczej „medianę” niż „podły” z powodu wskazanego przez Michaela C. ;-) Zamienię komentarz na odpowiedź.

ocram

Średni czas przeżycia nie jest bardzo skomplikowany. Zobacz moją odpowiedź. (Różne momenty można również stosunkowo łatwo obliczyć.)

Mark Adler

Odpowiedzi:

Mediana czasu przeżycia, , jest rozwiązaniem ; w tym przypadku . Jest tak, ponieważ gdy oznacza funkcję skumulowanego rozkładu standardowej normalnej zmiennej losowej. $t_{\textrm{med}}$ $S(t) = \frac{1}{2}$ $t_{\textrm{med}} = \exp(\mu)$ $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ $\Phi$

Gdy , mediana czasu przeżycia wynosi około jak pokazano na poniższym obrazku. $\mu = 3$ $20.1$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

ocram
źródło

Średni czas przeżycia najłatwiej znaleźć, wyrażając go w funkcji generowania momentu normalnej zmiennej losowej ocenianej przy .

t = 1

$t = 1$

kardynał

rmsPakiet R może pomóc:

require(rms)
f <- psm(Surv(dtime, event) ~ ..., dist='lognormal')
m <- Mean(f)
m   # see analytic form
m(c(.1,.2)) # evaluate mean at linear predictor values .1, .2
m(predict(f, expand.grid(age=10:20, sex=c('male','female'))))
# evaluates mean survival time at combinations of covariate values

Frank Harrell
źródło

Prawdopodobnie całkiem pomocne na przyszłość, ale same dane dotyczące przeżycia nie są w R - w pewnym momencie jest na liście do przetłumaczenia, ale teraz jest to tylko współczynnik, a wszystko inne odbywa się w SAS.

Fomite

Przekonasz się, że możliwości analizy przeżycia R są lepsze niż w SAS.

Frank Harrell,

Zgadzam się - stąd „na liście do przetłumaczenia”, ale R nie znam równie dobrze, a chociaż ten kawałek jest łatwy, rozszerzone części projektu są znacznie bardziej skomplikowane i mają istniejące implementacje w SAS.

Fomite

$e^{\mu+{\sigma^2\over 2}}$ $\sigma=1.1$

Mark Adler
źródło