W jaki sposób wystarczalność bayesowska odnosi się do wystarczającej częstotliwości?

Najprostsza definicja wystarczającej statystyki w perspektywie częstokrzyskiej znajduje się tutaj w Wikipedii . Ostatnio natknąłem się jednak na książkę bayesowską z definicją . W linku stwierdzono, że oba są równoważne, ale nie rozumiem, jak to zrobić. Również na tej samej stronie w sekcji „Inne typy wystarczalności” stwierdzono, że obie definicje nie są równoważne w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych ...$P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

W jaki sposób wystarczalność predykcyjna odnosi się do wystarczalności klasycznej?

Jeśli statystyki są wystarczające w sposób częsty, to , więc $T$$p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

$$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$$

Z drugiej strony, jeśli jest wystarczający na sposób bayesowski, to $T$

$$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$$

Co do „wystarczalności predykcyjnej”, co to jest?

Edycja: Jeśli masz wystarczającą bayesowską, masz wystarczającą predyktywność:

$$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$$

Kilka lat temu natrafiliśmy na ciekawe zjawisko podczas badania wyboru modelu bayesowskiego za pomocą ABC. Myślę, że wiąże się to z tym pytaniem. Istnieje rzeczywiście pojęcie wystarczalności dla wyboru modelu bayesowskiego, które nie wydaje się szczególnie znaczące poza podejściem bayesowskim.

Biorąc pod uwagę dwa modele i i próbka z jednego z tych dwóch modeli, statystyka jest wystarczająca do wyboru modelu lub dla różnych modeli w rozkładzie zależny od nie zależy od indeksu modelu (1 lub 2) ani wartości parametru w modelu.

$$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$$ $$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$$ $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$$S$$\mathbf{X}$$S(\mathbf{X})$

Jeśli istnieją wystarczające statystyki, współczynnik Bayesa oparty na jest taki sam jak współczynnik Bayesa oparty na . Chociaż jest to definicja sama w sobie nie bayesowska, nie widzę bezpośredniego zastosowania poza wyborem modelu bayesowskiego.$\mathbf{X}$$S(\mathbf{X})$