Znajdowanie krańcowych gęstości

9

Jak mówi tytuł, szukam krańcowych gęstości

f(x,y)=c1x2y2,x2+y21.

Do tej pory znalazłem to . Doszedłem do tego, przekształcając we współrzędne biegunowe i całkując nad , dlatego utknąłem w części gęstości marginalnej. Wiem, że , ale nie jestem pewien, jak to rozwiązać bez uzyskania dużej nieuporządkowanej całki, i wiem, że odpowiedź nie brzmi to miała być duża niechlujna całka. Czy zamiast tego można znaleźć , a następnie wziąć aby znaleźćc32πf(x,y)drdθfx(x)=f(x,y)dyF(x,y)dFdxfx(x)? To wydaje się być intuicyjnym sposobem na zrobienie tego, ale nie mogę znaleźć w moim podręczniku niczego, co określałoby te relacje, więc nie chciałem przyjmować błędnych założeń.

Jarrod
źródło
1
@kwak Nie jestem pewien, dlaczego zmiana tytułu była konieczna ... tag „zadanie domowe” powinien wystarczyć.
Shane
@Shane:> ok zmieniono z powrotem na oryginał.
user603,

Odpowiedzi:

15

Geometria pomaga tutaj. Wykres jest sferyczną kopułą o promieniu jednostkowym. (Wynika z tego natychmiast, że jego objętość jest o połowę mniejsza od kuli jednostkowej , skąd .) Gęstości krańcowe są podane przez obszary przekrojów pionowych przez ta kula. Oczywiście każdy przekrój jest półkolem: aby uzyskać gęstość brzeżną, znajdź jej promień jako funkcję pozostałej zmiennej i użyj wzoru na pole okręgu. Normalizacja wynikowej funkcji jednowymiarowej w celu uzyskania obszaru jednostki zamienia ją w gęstość.f(4π/3)/2c=3/(2π)

Whuber
źródło
Achh, to w pewnym sensie wraca do mnie z rachunku różniczkowego. Pamiętam, że robiłem takie problemy. Jak znaleźć promień jako funkcję pozostałej zmiennej? Nadal wydaje się, że pozostanie mi jakaś całka potwora.
Jarrod,
5
Niech pozostała zmienna będzie . Następnie opisuje region, w którym należy zintegrować. Najwyraźniej promień jest równy , skąd pole przekroju wynosi To dość prosta formuła :-). (Pamiętaj, że tematem jest tutaj geometria, a nie rachunek różniczkowy ...)yx21y21y2π(1y2)/2.
whuber
Och, racja. To przyszło mi do głowy, ale wydawało się to zbyt proste. Myślę, że byłem zdeterminowany, aby było to skomplikowane. Dzięki!
Jarrod,
Zapomniałem zapytać: w jaki sposób c się z tym wiąże?
Jarrod,
2
Moim zdaniem odpowiedź Whubera zasługuje na uznanie z dwóch powodów. Po pierwsze odpowiada na zadane pytanie, po drugie jako model tego, w jaki sposób moglibyśmy w przyszłości poradzić sobie z (zadeklarowanymi) zadaniami domowymi: ten rodzaj odpowiedzi faktycznie przyczynia się do procesu uczenia się i może być lepszą polityką w odniesieniu do pytania o pracę domową niż przyjęta w MO / SO.
user603,