Jak mówi tytuł, szukam krańcowych gęstości
Do tej pory znalazłem to . Doszedłem do tego, przekształcając we współrzędne biegunowe i całkując nad , dlatego utknąłem w części gęstości marginalnej. Wiem, że , ale nie jestem pewien, jak to rozwiązać bez uzyskania dużej nieuporządkowanej całki, i wiem, że odpowiedź nie brzmi to miała być duża niechlujna całka. Czy zamiast tego można znaleźć , a następnie wziąć aby znaleźć? To wydaje się być intuicyjnym sposobem na zrobienie tego, ale nie mogę znaleźć w moim podręczniku niczego, co określałoby te relacje, więc nie chciałem przyjmować błędnych założeń.
self-study
marginal
multivariable
Jarrod
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Geometria pomaga tutaj. Wykres jest sferyczną kopułą o promieniu jednostkowym. (Wynika z tego natychmiast, że jego objętość jest o połowę mniejsza od kuli jednostkowej , skąd .) Gęstości krańcowe są podane przez obszary przekrojów pionowych przez ta kula. Oczywiście każdy przekrój jest półkolem: aby uzyskać gęstość brzeżną, znajdź jej promień jako funkcję pozostałej zmiennej i użyj wzoru na pole okręgu. Normalizacja wynikowej funkcji jednowymiarowej w celu uzyskania obszaru jednostki zamienia ją w gęstość.f (4π/3)/2 c=3/(2π)
źródło