Normalna dystrybucja

Jest problem ze statystykami, niestety nie mam pojęcia, od czego zacząć (studiuję sam, więc nie ma nikogo, kogo mogę zapytać, jeśli czegoś nie rozumiem.

Pytanie brzmi

$X,Y$ iid$N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

Ponieważ masz do czynienia z normalnymi danymi IID, warto nieco uogólnić swój problem, aby spojrzeć na przypadek, w którym masz $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ i Ty chcesz $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$. (Twoje pytanie odpowiada przypadkowi, w którym$n=2$). Jak zauważyli inni użytkownicy, suma kwadratów normalnych zmiennych losowych IID jest skalowaną niecentralną zmienną losową chi-kwadrat , a zatem wariancję zainteresowania można uzyskać na podstawie wiedzy o tym rozkładzie. Można jednak uzyskać wymaganą wariancję przy użyciu zwykłych reguł momentu, w połączeniu ze znajomością momentów rozkładu normalnego . Pokażę ci, jak to zrobić, krok po kroku.

Znajdowanie wariancji na podstawie momentów rozkładu normalnego: Od wartości$X_1, ..., X_n$ są IID (i biorą $X$ aby być ogólną wartością z tej dystrybucji), masz:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ gdzie oznaczamy nieprzetworzone momenty jako $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$. Te nieprzetworzone momenty można zapisać w kategoriach momentów centralnych$\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ i średnia $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$używając standardowych formuł konwersji , a następnie możemy wyszukać centralne momenty rozkładu normalnego i zastąpić je.

Korzystając ze wzorów przeliczania momentu powinieneś uzyskać:

$$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Do dystrybucji $X \sim \text{N}(a,b^2)$ mamy na myśli $\mu_1' = a$ i momenty centralne wyższego rzędu $\mu_2 = b^2$, $\mu_3 = 0$ i $\mu_4 = 3 b^4$. To daje nam surowe chwile: $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Teraz spróbuj zastąpić je z powrotem oryginalnym wyrażeniem, aby znaleźć wariancję zainteresowania.

Podstawienie z powrotem do pierwszego wyrażenia daje:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ W szczególnym przypadku, gdy $n=2$ ty masz $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$. Można wykazać, że wynik ten odpowiada rozwiązaniu, które uzyskałbyś, gdybyś użył alternatywnej metody uzyskiwania wyniku ze skalowanego niecentralnego rozkładu chi-kwadrat.

Alternatywne działanie oparte na wykorzystaniu niecentralnego rozkładu chi-kwadrat: Od$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$ mamy:

$$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ Korzystając ze znanej wariancji tego rozkładu, mamy: $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Ten wynik pasuje do powyższego wyniku.

Gdyby $X$ i $Y$ są $\text{N} (a, b^2)$ niezależne zmienne losowe $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ jest $\chi ^2(2)$ zmienna losowa.

Myślisz, że możesz stamtąd to wziąć?

Odpowiedź znajduje się w niecentralnym rozkładzie chi-kwadrat .

Na przykład, jeśli b = 1, odpowiedź na twoje pytanie brzmi: $2(k + 2(a^2))$, gdzie $k=2$ to liczba składników ($X$ i $Y$).