Niech będą wzajemnie niezależnymi zmiennymi losowymi, z których każda ma rozkład gamma o parametrach pokazują, że , mają wspólny podział jako
Wspólne pdf Następnie, aby znaleźć wspólne pdfnie mogę znaleźć jakobiańskiego tj.
Niech będą wzajemnie niezależnymi zmiennymi losowymi, z których każda ma rozkład gamma o parametrach pokazują, że , mają wspólny podział jako
Wspólne pdf Następnie, aby znaleźć wspólne pdfnie mogę znaleźć jakobiańskiego tj.
Odpowiedzi:
Jakobianie - absolutne determinanty zmiany funkcji zmiennej - wydają się budzić grozę i mogą być skomplikowane. Niemniej są one istotną i nieuniknioną częścią obliczania wielowymiarowej zmiany zmiennej. Wydaje się, że nie ma na to nic innego, jak zapisać macierz pochodnychk+1 na k+1 i wykonać obliczenia.
Jest lepszy sposób. Jest pokazany na końcu w sekcji „Rozwiązanie”. Ponieważ celem tego postu jest wprowadzenie statystyk do co może być nową metodą dla wielu, wiele z nich poświęcono wyjaśnieniu mechanizmów stojących za rozwiązaniem. To jest algebra form różniczkowych . (Formy różnicowe to rzeczy, które integruje się w wielu wymiarach.) Szczegółowy, działający przykład jest dołączony, aby pomóc to lepiej poznać.
tło
Ponad sto lat temu matematycy opracowali teorię algebry różniczkowej do pracy z „pochodnymi wyższego rzędu” występującymi w geometrii wielowymiarowej. Wyznacznik jest szczególnym przypadkiem podstawowych obiektów manipulowanych przez takie algebry, które zwykle są przemiennymi formami wieloliniowymi . Piękno tego leży w tym, jak proste mogą być obliczenia.
Oto wszystko, co musisz wiedzieć.
Różnica to ekspresja w postaci „dxi ”. Jest to konkatenacja „ d ” z dowolną nazwą zmiennej.
Jedna forma to liniowa kombinacja różnic, takich jak lub nawet x 2 d x 1 - exp ( x 2 ) d x 2 . Oznacza to, że współczynniki są funkcjami zmiennych.dx1+dx2 x2dx1−exp(x2)dx2
Formularze można „pomnożyć” za pomocą iloczynu klinowego , napisanego . Ten produkt działa przeciw przemiennie (zwany również naprzemiennie ): dla dowolnych dwóch jednopostaci ω i η ,∧ ω η
To zwielokrotnienie jest liniowe i asocjacyjne: innymi słowy, działa w znany sposób. Bezpośrednią konsekwencją jest to, że , co oznacza, że kwadrat dowolnej formy jest zawsze równy zero. To sprawia, że mnożenie jest niezwykle proste!ω∧ω=−ω∧ω
Do celów manipulowania całkami pojawiającymi się w obliczeniach prawdopodobieństwa wyrażenie takie jak można rozumieć jako | d x 1 ∧ d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x k + 1 | .dx1dx2⋯dxk+1 |dx1∧dx2∧⋯∧dxk+1|
Gdy jest funkcją, wówczas jej różnicę podaje się przez różnicowanie:y=g(x1,…,xn)
The connection with Jacobians is this: the Jacobian of a transformation(y1,…,yn)=F(x1,…,xn)=(f1(x1,…,xn),…,fn(x1,…,xn)) is, up to sign, simply the coefficient of który pojawia się w obliczeniachdx1∧⋯∧dxn
po rozwinięciu każdego z jako liniowej kombinacji d x j w regule (5).dfi dxj
Przykład
Prostota tej definicji jakobianów jest pociągająca. Nie jesteś jeszcze przekonany, czy warto? Rozważ dobrze znany problem przekształcania całek dwuwymiarowych ze współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe ( r , θ ) , gdzie ( x , y ) = ( r cos ( θ ) , r sin ( θ ) ) . Poniżej znajduje się całkowicie mechaniczne zastosowanie powyższych zasad, gdzie „ ( ∗ )(x,y) (r,θ) (x,y)=(rcos(θ),rsin(θ)) (∗) " is used to abbreviate expressions that will obviously disappear by virtue of rule (3), which implies dr∧dr=dθ∧dθ=0 .
The point of this is the ease with which such calculations can be performed, without messing about with matrices, determinants, or other such multi-indicial objects. You just multiply things out, remembering that wedges are anti-commutative. It's easier than what is taught in high school algebra.
Preliminaries
Let's see this differential algebra in action. In this problem, the PDF of the joint distribution of(X1,X2,…,Xk+1) is the product of the individual PDFs (because the Xi are assumed to be independent). In order to handle the change to the variables Yi we must be explicit about the differential elements that will be integrated. These form the term dx1dx2⋯dxk+1 . Including the PDF gives the probability element
(The normalizing constant has been ignored; it will be recovered at the end.)
Staring at the definitions of theYi a few seconds ought to reveal the utility of introducing the new variable
giving the relationships
This suggests making the change of variablesxi→yiz in the probability element. The intention is to retain the first k variables y1,…,yk along with z and then integrate out z . To do so, we have to re-express all the dxi in terms of the new variables. This is the heart of the problem. It's where the differential algebra takes place. To begin with,
Note that sinceY1+Y2+⋯+Yk+1=1 , then
Consider the one-form
It appears in the differential of the last variable:
The value of this lies in the observation that
because, when you expand this product, there is one term containingdx1∧dx1=0 as a factor, another containing dx2∧dx2=0 , and so on: they all disappear. Consequently,
Whence (because all productsdz∧dz disappear),
The Jacobian is simply|zk|=zk , the coefficient of the differential product on the right hand side.
Solution
The transformation(x1,…,xk,xk+1)→(y1,…,yk,z) is one-to-one: its inverse is given by xi=yiz for 1≤i≤k and xk+1=z(1−y1−⋯−yk) . Therefore we don't have to fuss any more about the new probability element; it simply is
That is manifestly a product of a Gamma(α1+⋯+αk+1) distribution (for Z ) and a Dirichlet(α) distribution (for (Y1,…,Yk) ). In fact, since the original normalizing constant must have been a product of Γ(αi) , we deduce immediately that the new normalizing constant must be divided by Γ(α1+⋯+αk+1) , enabling the PDF to be written
źródło