Zalety wykładniczej rodziny: dlaczego powinniśmy ją studiować i wykorzystywać?

Więc tutaj studiuję wnioskowanie. Chciałbym, aby ktoś mógł wymienić zalety wykładniczej rodziny. Przez rodzinę wykładniczą rozumiem rozkłady, które są podane jako

których wsparcie nie zależy od parametru $\theta$ . Oto kilka zalet, które odkryłem:

(a) Obejmuje szeroki zakres dystrybucji.

(b) Oferuje naturalną wystarczającą statystykę zgodnie z twierdzeniem Neymana-Fishera.$T(x)$

(c) Umożliwia stworzenie ładnej formuły dla funkcji generującej moment .$T(x)$

(d) Ułatwia oddzielenie związku między odpowiedzią a predyktorem od warunkowego rozkładu odpowiedzi (za pomocą funkcji łącza).

Czy ktoś może zapewnić jakąkolwiek inną korzyść?

... dlaczego powinniśmy to przestudiować i wykorzystać?

Myślę, że twoja lista zalet skutecznie odpowiada na twoje pytanie, ale pozwól, że przedstawię kilka meta-matematycznych komentarzy, które mogą wyjaśnić ten temat. Ogólnie rzecz biorąc, matematycy lubią uogólniać koncepcje i wyniki aż do maksymalnej możliwej liczby punktów, do granic ich użyteczności. Oznacza to, że gdy matematycy opracują koncepcję i stwierdzą, że do tej koncepcji stosuje się jedno lub więcej użytecznych twierdzeń, będą na ogół dążyć do uogólnienia pojęcia i wyników coraz bardziej, aż dojdą do punktu, w którym dalsze uogólnienie uniemożliwiłoby zastosowanie wyników lub nie są już przydatne. Jak widać z twojej listy, do rodziny wykładniczej dołączono szereg użytecznych twierdzeń i obejmuje ona szeroką klasę rozkładów. Jest to wystarczające, aby uczynić go godnym przedmiotem badań i przydatną klasą matematyczną w praktyce.

Czy ktoś może zapewnić jakąkolwiek inną korzyść?

Ta klasa ma różne dobre właściwości w analizie Bayesa. W szczególności wykładnicze rozkłady rodzinne zawsze mają sprzężone priory, a wynikowy tylny rozkład predykcyjny ma prostą formę. To sprawia, że ​​jest to niezwykle przydatna klasa rozkładów w statystyce bayesowskiej. Rzeczywiście, pozwala na przeprowadzenie analizy bayesowskiej przy użyciu sprzężonych priorów na bardzo wysokim poziomie ogólności, obejmującym wszystkie rodziny dystrybucyjne w rodzinie wykładniczej.

Powiedziałbym, że najbardziej przekonującą motywacją dla rodzin wykładniczych jest to, że są to minimalne założenia założeniowe przy danych pomiarach . Jeśli masz czujnik o wartościach rzeczywistych, którego pomiary są podsumowane za pomocą średniej i wariancji, wówczas minimalnym założeniem, jakie możesz przyjąć na temat jego obserwacji, jest to, że są one normalnie rozłożone. Każda wykładnicza rodzina jest wynikiem podobnego zestawu założeń.

Jaynes sprzeciwia się tej zasadzie maksymalnej entropii:

„Rozkład maksymalnej entropii można twierdzić z tego pozytywnego powodu, że jest on jednoznacznie określony jako taki, który jest maksymalnie niezobowiązujący w odniesieniu do brakujących informacji, zamiast negatywnego, że nie było powodu, aby myśleć inaczej. Zatem koncepcja entropii dostarcza brakujące kryterium wyboru… ”