42

Jestem zdezorientowany. Nie rozumiem różnicy między ARiMR a procesem GARCH .. dla mnie są takie same nie?

Oto proces (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

A oto ARiMR ( $p, q$ ):

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Czy ARMA jest po prostu rozszerzeniem GARCH, GARCH jest używany tylko do zwrotów i przy założeniu $r = \sigma\varepsilon$ gdzie $\varepsilon$ następuje po silnym białym procesie?

arima garch finance Jan
źródło

1

Oprócz odpowiedzi fg nu proces wariancji w GARCH jest zmienny w czasie. Istnieje jednak pewna sztuczka polegająca na tym, że biorąc pod uwagę szereg czasowy zwrotu logarytmicznego SP500, aby uzyskać proces zmienności, co powinniśmy zrobić? Niektórzy twierdzą, że potrzebujemy użyć modelu ARMA do wycofania szeregu resztkowego, a następnie podłączyć tę serię resztkową do modelu GARCH, aby uzyskać proces wariancji warunkowej? A może bezpośrednio podłączyć proces zwracania dziennika do procesu zwracania dziennika SP500 do modelu GARCH, aby uzyskać warunkową wariancję?

48

Łączymy cechy procesu z jego reprezentacją. Rozważmy proces (zwrot) . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Model ARMA (p, q) określa średnią warunkową procesu jako

tujest zestaw informacji w czasie, która jest-algebra generowane przez opóźnione wartościami procesu wynikowego.

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Model GARCH (r, s) określa warunkową wariancję procesu $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Należy zwrócić uwagę w szczególności na pierwszą równoważność . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Poza tym : Na podstawie tej reprezentacji możesz napisać gdzie jest silnym procesem białego szumu, ale wynika to ze sposobu zdefiniowania procesu.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Oba modele (dla średniej warunkowej i wariancji) są doskonale ze sobą kompatybilne, ponieważ średnią z tego procesu można modelować jako ARMA, a wariancje jako GARCH. Prowadzi to do pełnej specyfikacji modelu ARMA (p, q) -GARCH (r, s) dla procesu, jak w poniższej reprezentacji $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

tchakravarty
źródło

Czy nie powinieneś polegać na informacjach w czasie

jeśli wszystkie regresory są opóźnione?

t - 1

$t-1$

Jase

@Jase Zwróć uwagę na definicję: „Tutaj

jest zestawem informacji w czasie

, który jest algebrą

generowaną przez opóźnione wartości procesu wyniku

”. To znaczy,

. Niektórzy autorzy piszą to jako

ale jest to sprzeczne z pojęciem zbioru informacji w czasie .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

tchakravarty,

Miły! Czy wiesz, dlaczego używamy sigma-algebry, a nie filtracji?

Jase

1

@Jase, sekwencja zbiorów informacji

stanowi filtrację .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

tchakravarty,

16

Edycja: Zdałem sobie sprawę, że brakuje odpowiedzi i dlatego podałem bardziej precyzyjną odpowiedź (patrz poniżej - a może powyżej). Zedytowałem ten pod kątem błędów rzeczowych i pozostawiam go do zapisu.

Różne parametry ostrości:

ARiMR jest modelem do realizacji procesu stochastycznego, który narzuca określoną strukturę średniej warunkowej procesu.
GARCH jest modelem do realizacji procesu stochastycznego, który narzuca określoną strukturę warunkowej wariancji procesu.

~~Model stochastyczny kontra deterministyczny:~~

ARMA jest modelem stochastycznym w tym sensie, że zmienna zależna - realizacja procesu stochastycznego - jest określona jako suma funkcji deterministycznej opóźnionej zmiennej zależnej i błędu modelu opóźnionego (średnia warunkowa) oraz składnika błędu stochastycznego.
~~GARCH jest modelem deterministycznym w tym sensie, że zmienna zależna - warunkowa wariacja procesu - jest czysto deterministyczną funkcją zmiennych opóźnionych.~~

Richard Hardy
źródło

1

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

1

@mpiktas, True. Jeśli model GARCH zawiera dwa równania, jedno dla średniej warunkowej (przykład, o którym pisałeś powyżej), a drugie dla wariancji warunkowej (która intuicyjnie, choć nie matematycznie, jest „głównym równaniem” modelu), mój argument ma zastosowanie tylko do tego ostatniego równania.

Richard Hardy,

10

ARMA

$y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

$D$

$\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Ta ostatnia reprezentacja ułatwia porównanie ARMA z GARCH i ARMA-GARCH.

GARCH

$y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

$u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

$\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

$y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

$u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

$y_t$ $I_{t-1}$

Richard Hardy
źródło

3

Procesy ARiMR i GARCH są bardzo podobne w swojej prezentacji. Linia podziału między nimi jest bardzo cienka, ponieważ otrzymujemy GARCH, gdy zakłada się proces ARMA dla wariancji błędu.

użytkownik36853
źródło

Jaka jest różnica między GARCH a ARMA?

Odpowiedzi:

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH