Rozkład z

16

Czy są jakieś informacje o rozkładzie, którego n ty skumulowany parametr podaje 1n ? Funkcja generująca kumulanty ma postać

κ(t)=01etx1x dx.
Natknąłem się na to jako ograniczający rozkład niektórych zmiennych losowych, ale nie byłem w stanie znaleźć żadnych informacji na ten temat.
chłopak
źródło
Nie widzę, że ta funkcja którą podałeś, ma właściwość, do której się zgłosiłeś! Powinieneś zrewidować swoją pracę. Przybliżenie wykładniczego n całki blisko zera za pomocą 1 + t x , całka blisko zera staje się t / x , więc jest rozbieżna. Tak więc całka nie może reprezentować skumulowanej funkcji generującej. κ(t)1+txt/x
kjetil b halvorsen
@kjetilbhalvorsen nie jestem pewien, czy śledzę. Przybliżenie pomocą 1 + t x daje t xetx1+txdla całki. Również zgodnie ztymfunkcja, którą dałem, ma znaną całkę pod względem całek hiperbolicznych cosinus i sinus. Aby pokazać, żeκ(t)ma deklarowaną właściwość, po prostu wykonaj pełną serię Taylora około0dlaetxi przepchnij całkę do sumy, aby uzyskać szereg Taylora dlaκ(t)około0. txx=tκ(t)0etxκ(t)0
facet
sympy mówi, że całka jest rozbieżna (na swój ekscentryczny sposób!). Ale sympia musi się mylić, widzę to teraz, eksperymentowałem z pewną integracją numeryczną i działa ona dobrze. Spróbuję ponownie.
kjetil b halvorsen
Patrząc na wynik Alfa Wolphrama, również nie może być poprawny, ma granicę niezerową, gdy t zbliża się do zera, podczas gdy wyraźnie. κ(0)=0
kjetil b halvorsen
2
Uważam, że jest to absolutnie ciągłe włączenie . Jest on realizowany jako granica compoud zmiennych losowych Poissona; jako n złożony Poissona ze współczynnikiem 1 1 / n 1(0,)ni gęstość rozkładu skokowegofn(x)11/n11x dxsłabo zbiega się z tym rozkładem. fn(x)1xI(1/n<x<1)
facet

Odpowiedzi:

8

Znajomość wartości kumulantów pozwala nam zorientować się, jak będzie wyglądał wykres tego rozkładu prawdopodobieństwa. Średnia i wariancja rozkładu wynosi

E[Y]=κ1=1,Var[Y]=κ2=12

podczas gdy jego skośność i nadmiar współczynników kurtozy są

γ1=κ3(κ2)3/2=(1/3)(1/2)3/2=223

γ2=κ4(κ2)2=(1/4)(1/2)2=1

So this could be a familiar looking graph of a positive random variable exhibiting positive skewness. As for finding the probability distribution, a craftsman's approach could be to specify a generic discrete probability distribution, taking values in {0,1,...,m}, with corresponding probabilities {p0,p1,...,pm},k=0mpk=1, and then use the cumulants to calculate the raw moments, with the purpose of forming a system of linear equations with the probabilities being the unknowns. Cumulants are related to raw moments by

κn=μni=1n1(n1i1)κiμni
Solved for the first five raw moments this gives (the numerical value at the end is specific to the cumulants in our case)
μ1=κ1=1μ2=κ2+κ12=3/2μ3=κ3+3κ2κ1+κ13=17/6μ4=κ4+4κ3κ1+3κ22+6κ2κ12+κ14=19/3μ5=κ5+5κ4κ1+10κ3κ2+10κ3κ12+15κ22κ1+10κ2κ13+κ15=243/15
If we (momentarily) set m=5 we have the system of equations

k=05pk=1,k=05pkk=1k=05pkk2=3/2,k=05pkk3=17/6k=05pkk4=19/3,k=05pkk5=243/15s.t.pk0k

Of course we do not want m to be equal to 5. But increasing gradually m (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

Alecos Papadopoulos
źródło
This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range (0,a) and then on (a,) it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).
guy
Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for a?
Alecos Papadopoulos
Dug up my old code and found a1. If Yκ(t) then [YY<1] is approximatey U(0,1) and [Y1Y>1] is approximately gamma distributed with shape 1.4 and mean 0.64.
guy
What do you mean by Yκ(t)?
Alecos Papadopoulos
1
So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?
wolfies