pdf produktu dwóch niezależnych zmiennych losowych, normalnej i chi-kwadrat

17

jaki jest pdf iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y, jeśli X i Y są niezależne? X jest rozkładem normalnym, a Y jest rozkładem chi-kwadrat.

Z = XY

jeśli X ma rozkład normalny

XN(μx,σx2)
fX(x)=1σx2πe12(xμxσx)2
iYma rozkład chi-kwadrat okstopniu swobody
Yχk2
fY(y)=y(k/2)1ey/22k/2Γ(k2)u(y)
gdzieu(y)jest funkcją kroku jednostkowego.

Czym jest pdf Z jeśli X i Y są niezależne?

Jednym ze sposobów znalezienia rozwiązania jest użycie dobrze znanego wyniku Rohatgiego (1976, s. 141), jeżeli fXY(x,y) będzie połączonym pdf ciągłych RV X i Y , pdf Z jest

fZ(z)=1|y|fXY(zy,y)dy

ponieważ X i Y są niezależne fXY(x,y)=fX(x)fY(y)

fZ(z)=1|y|fX(zy)fY(y)dy
gdzie mamy do czynienia z problemem rozwiązania integralną01
fZ(z)=1σx2π12k/2Γ(k2)01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy
. Czy ktoś może mi pomóc z tym problemem.01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy

czy jest jakiś alternatywny sposób na rozwiązanie tego?

rudzik
źródło
2
Ten ostatni krok nie wygląda całkiem dobrze. „ "wydaje się oznaczaćfX, ale - co ważniejsze - nie możesz po prostu zmienić dolnej granicy na0: musisz rozbić całkę na dwie osobne przy0, zmieńy-yna wartość z zakresu ujemnego , a następnie połącz oba. Wierzę, że może to uczynić integrację wykonalną: wydaje się, że daje liniową kombinację uogólnionych funkcji hipergeometrycznych.fXYfX00yy
whuber
Tak, to był błąd powinno byćfX(zfZY(zy). fX(zy)
robin
Ale myślę, że zmiana dolnej granicy na 0 jest ważna, ponieważ jest funkcją na ( 0 , ), co jest wskazywane przez funkcję kroku jednostkowego u ( y ) . fY(y)(0,)u(y)
robin
Nie jestem już szkolony do tego rodzaju obliczeń ... ale nie wygląda na to, że można skończyć z zamkniętą formułą. Jeśli potrzebujesz tego do praktycznego zastosowania, myślę, że powinieneś skupić się na „jak to skutecznie obliczyć”.
Elvis
4
Czy jest jakaś motywacja do tego pytania? Normalna podzielona przez jest wartością t Studenta , ale dlaczego uważasz, że Normalna pomnożona lub podzielona przez χ 2 ? χtχ2
Xi'an,

Odpowiedzi:

1

simplify the term in the integral to

T=e12((zyμxσx)2y)yk/22

find the polynomial p(y) such that

[p(y)e12((zyμxσx)2y)]=p(y)e12((zyμxσx)2y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]e12((zyμxσx)2y)=T

which reduces to finding p(y) such that

p(y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]=yk/22

or

p(y)12p(y)(zμxσx2y2z2σx2y31)=yk/22

which can be done evaluating all powers of y seperately


edit after comments

Above solution won't work as it diverges.

Yet, some others have worked on this type of product.

Using Fourrier transform:

Schoenecker, Steven, and Tod Luginbuhl. "Characteristic Functions of the Product of Two Gaussian Random Variables and the Product of a Gaussian and a Gamma Random Variable." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

For the product Z=XY with XN(0,1) and YΓ(α,β) they obtained the characteristic function:

φZ=1βα|t|αexp(14β2t2)Dα(1β|t|)

with Dα Whittaker's function ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )

Using Mellin transform:

Springer and Thomson have described more generally the evaluation of products of beta, gamma and Gaussian distributed random variables.

Springer, M. D., and W. E. Thompson. "The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

They use the Mellin integral transform. The Mellin transform of Z is the product of the Mellin transforms of X and Y (see http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 or https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201). In the studied cases of products the reverse transform of this product can be expressed as a Meijer G-function for which they also provide and prove computational methods.

They did not analyze the product of a Gaussian and gamma distributed variable, although you might be able to use the same techniques. If I try to do this quickly then I believe it should be possible to obtain an H-function (https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) although I do not directly see the possibility to get a G-function or make other simplifications.

M{fY(x)|s}=2s1Γ(12k+s1)/Γ(12k)

and

M{fX(x)|s}=1π2(s1)/2σs1Γ(s/2)

you get

M{fZ(x)|s}=1π232(s1)σs1Γ(s/2)Γ(12k+s1)/Γ(12k)

and the distribution of Z is:

fZ(y)=12πicic+iysM{fZ(x)|s}ds

which looks to me (after a change of variables to eliminate the 232(s1) term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both s and s/2 complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the s/2 could be transformed into s by substituting the variable x=w2. But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.

Sextus Empiricus
źródło
1
... which yields ...?
wolfies
it gives the antiderivative of the term in the integral that is to be solved according to the question
Sextus Empiricus
It is unclear what progress this analysis represents. Do you obtain a solution or not?
whuber
Finding the coefficients of the polynomial p(y) (which closes the solution) is a tedious, but straightforward, task which I left open. I will soon enter some examples for some k.
Sextus Empiricus