Centralne momenty rozkładów symetrycznych

Próbuję pokazać, że centralny moment rozkładu symetrycznego: wynosi zero dla liczb nieparzystych. Na przykład trzeci centralny momentZacząłem od pokazania, żeNie jestem pewien, dokąd się udać, jakieś sugestie? Czy jest lepszy sposób, aby to udowodnić?

$${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$

Ta odpowiedź ma na celu jak najbardziej elementarną demonstrację, ponieważ takie rzeczy często dochodzą do zasadniczej idei. Te tylko fakty potrzebne (poza najprostszym rodzajem manipulacji algebraicznych) są liniowość integracji (lub, równoważnie, oczekiwania), zmiana formuły zmiennych dla całek, a aksjomat wynik, że integruje PDF do jedności.

Motywacją tej demonstracji jest intuicja, że ​​gdy jest symetryczny względem , wówczas udział dowolnej ilości w oczekiwaniu będzie miał taki sam ciężar jak wielkość , ponieważ i znajdują się po przeciwnych stronach i równie daleko od niego. Pod warunkiem, że dla wszystkich , wszystko się anuluje, a oczekiwanie musi wynosić zero. Relacja między a zatem naszym punktem wyjścia.$f_X$$a$$G(x)$$\mathbb{E}_X(G(X))$$G(2a-x)$$x$$2a-x$$a$$G(x) = -G(2a-x)$$x$$x$$2a-x$

---

Zauważ, pisząc , że symetria równie dobrze może być wyrażona przez relację$y = x + a$

$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$

dla wszystkich . Dla każdej mierzalnej funkcji jeden do jednego zmiennej z na zmienia na , jednocześnie odwracając kierunek całkowania, co sugeruje$y$$G$$x$$2a-x$$dx$$-dx$

$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$

Zakładając, że takie oczekiwanie istnieje (to znaczy całka zbieżna), liniowość implikuje

$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$

Rozważmy nieparzyste momenty związane z , które są zdefiniowane jako oczekiwania , . W tych przypadkach$a$$G_{k,a}(X) = (X-a)^k$$k = 1, 3, 5, \ldots$

$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$

właśnie dlatego, że jest nieparzyste. Zastosowanie poprzedniego wyniku daje$k$

$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$

Ponieważ prawa strona to dwukrotność tego momentu o , podzielenie przez pokazuje, że moment ten wynosi zero, ilekroć istnieje.$k$$a$$2$

Wreszcie średnia (zakładając, że istnieje) to

$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$

Ponownie wykorzystując liniowość i przypominając, że ponieważ jest rozkładem prawdopodobieństwa, możemy zmienić ostatnią równość do odczytania$\int f_X(x)dx=1$$f_X$

$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$

z unikalnym rozwiązaniem . Dlatego wszystkie nasze wcześniejsze obliczenia momentów o są naprawdę centralnymi momentami, QED.$\mu_X = a$$a$

---

Postword

Konieczność podzielenia przez w kilku miejscach jest związana z faktem, że istnieje grupa rzędu działająca na funkcje mierzalne (a mianowicie grupa generowana przez odbicie w linii wokół ). Mówiąc bardziej ogólnie, ideę symetrii można uogólnić na działanie dowolnej grupy. Teoria reprezentacji grupowych implikuje, że postać$2$$2$$a$tego działania na funkcji nie jest trywialne, jest prostopadłe do trywialnego charakteru, a to oznacza, że ​​oczekiwanie funkcji musi wynosić zero. Relacje ortogonalności obejmują dodawanie (lub całkowanie) w grupie, stąd wielkość grupy stale pojawia się w mianownikach: jej liczebność, gdy jest skończona, lub jej objętość, gdy jest zwarta.

Piękno tego uogólnienia ujawnia się w aplikacjach o oczywistej symetrii , takich jak w mechanicznych (lub mechanice kwantowej) równaniach ruchu układów symetrycznych zilustrowanych przez cząsteczkę benzenu (która ma 12-elementową grupę symetrii). (Aplikacja QM jest tutaj najbardziej odpowiednia, ponieważ wyraźnie oblicza oczekiwania.) Wartości zainteresowania fizycznego - które zazwyczaj obejmują całki wielowymiarowe tensorów - można obliczyć przy nie więcej pracy niż tutaj, po prostu znając znaki związane z integruje. Na przykład „kolory” różnych symetrycznych cząsteczek - ich widma przy różnych długościach fal - można określić ab initio za pomocą tego podejścia.