Znajdowanie rozkładu statystyki

9

Studiowanie do testu. Nie mogłem odpowiedzieć na to.

Niech będzie iid zmiennych losowych. DefiniowaćX1,i,X2,i,X3,i,i=1,,nN(0,1)

Wi=(X1,i+X2,iX3,i)/1+X3,i2,i=1,,n ,

i ,W¯n=n1i=1nWi

Sn2=(n1)1i=1n(WiW¯n)2,n2.

Jaka jest dystrybucja , ?W¯nSn2

Jak uzyskać wyobrażenie o najlepszej metodzie, którą należy zastosować, rozpoczynając taki problem?

Taylor
źródło
1
Czy chcesz rozkład dla stałego lub rozkład asymptotyczny? Czy jesteś zainteresowany rozkładem krańcowym i lub ich wspólnym rozkładem? nW¯nSn2
kardynał
Przepraszam za dwuznaczność. Utrzymuj ustalone, a interesują mnie tylko ich marginesy. Później pytają, czy te dwie statystyki są niezależne, więc spodziewam się pewnego zastosowania twierdzenia Basu. n
Taylor

Odpowiedzi:

8

To jest trik.

Warunkowo na mamy, że jest równe Wynika to z faktu, że dla ustalonego jest to prosta liniowa transformacja dwóch niezależnych zmiennych i . Skąd ma rozkład normalny. Średnia warunkowa jest postrzegana jako 0, a wariancja warunkowa wynosi (przy założeniach niezależności) X3,i=xWi

X1,i+X2,ix1+x2N(0,1).
xN(0,1)X1,iX2,iWiX3,i=x
V(WiX3,i=x)=V(X1,i)+V(X2,i)x21+x2=1+x21+x2=1.

Ponieważ rozkład warunkowy nie zależy od , dochodzimy do wniosku, że jest to również jego rozkład krańcowy, to znaczyWiX3,i=xxWiN(0,1).

Reszta wynika ze standardowych wyników średnich i reszt dla niezależnych normalnych zmiennych losowych. Twierdzenie Basu nie jest potrzebne do niczego.

NRH
źródło
2
bardzo imponujące!
Cam.Davidson.Pilon
Dobrze zauważony (+1). Jednak dla wspólnego rozkładu , twierdzenie Basu ma ogromne znaczenie. (W¯n,Sn2)
mbe 18.01.17