Różnica losowych zmiennych Gamma

Biorąc pod uwagę dwie niezależne zmienne losowe i Y ∼ G a m m a ( α Y , β Y ) , jaki jest rozkład różnicy, tj. D = X - Y ?$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$$Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$$D=X-Y$

Jeśli wynik nie jest dobrze znany, w jaki sposób mógłbym uzyskać wynik?

Opiszę, w jaki sposób można podejść do problemu, i stwierdzę, że moim zdaniem końcowy rezultat będzie w przypadku specjalnym, gdy parametrami kształtu są liczby całkowite, ale nie wypełniam szczegółów.

• Po pierwsze, zauważ, że przyjmuje wartości w ( - ∞ , ∞ ), a więc f X - Y ( z ) ma wsparcie ( - ∞ , ∞ ) .$X-Y$$(-\infty,\infty)$$f_{X-Y}(z)$$(-\infty,\infty)$

• Po drugie, ze standardowych wyników wynika, że ​​gęstość sumy dwóch niezależnych ciągłych zmiennych losowych jest splotem ich gęstości, tj. oraz że gęstość zmiennej losowej - Y wynosi f - Y ( α ) = f Y ( - α ) , wywnioskuj, że f X - Y ( z ) = f X + ( - Y ) ( z ) = ∫ ∞ - ∞ f X ( x ) f - Y ( z - x

  $$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$$ $-Y$$f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $$f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$$

• $X$$Y$

  $$f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$$

• $\Gamma(s,\lambda)$$\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$$X \sim \Gamma(s,\lambda)$$Y \sim \Gamma(t,\mu)$$z > 0$

  $$\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$$ $z < 0$ $$\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$$

$s = t$

$s$$t$$p(y,z)$$y$$z$$(s+t-2, s-1)$$q(x,z)$$x$$z$$(s+t-2,t-1)$

• $z > 0$$(1)$$s$$y$$1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$$X-Y$$\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$$z > 0$$t$

• $z < 0$$X-Y$$\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$$(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$$(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$$s$

Według mojej wiedzy rozkład różnicy dwóch niezależnych gamma rv został po raz pierwszy zbadany przez Mathai w 1993 roku. Wyprowadził rozwiązanie w formie zamkniętej. Nie powielę tutaj jego pracy. Zamiast tego wskażę ci oryginalne źródło. Rozwiązanie formy zamkniętej można znaleźć na stronie 241 jako twierdzenie 2.1 w jego pracy na temat niecentralnego uogólnionego Laplaciana form kwadratowych w zmiennych normalnych .