Wariancja iloczynu wielu zmiennych losowych

44

Znamy odpowiedź na dwie niezależne zmienne:

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

Jeśli jednak weźmiemy iloczyn więcej niż dwóch zmiennych, , jaka byłaby odpowiedź pod względem wariancji i oczekiwanych wartości każdej zmiennej?Var(X1X2Xn)

damla
źródło
5
Ponieważ jest zmienną losową i (zakładając, że wszystkie X i są niezależne) jest niezależna od X n , odpowiedź uzyskuje się indukcyjnie: nic nowego nie jest potrzebne. Aby nie wydawało się to zbyt tajemnicze, technika nie różni się niczym od wskazania, że ​​skoro możesz dodać dwie liczby za pomocą kalkulatora, możesz dodawać n liczb za pomocą tego samego kalkulatora tylko poprzez wielokrotne dodawanie. X1X2Xn1XiXnn
whuber
3
Czy możesz napisać dowód na wyświetlone równanie? Jestem ciekawy, co się stało z terminem który powinien dać ci kilka terminów obejmujących cov ( X , Y ) . (E[XY])2cov(X,Y)
Dilip Sarwate
5
@DilipSarwate, podejrzewam, że to pytanie milcząco zakłada, że i Y są niezależne. Formuła OP jest poprawna, ilekroć X , Y są nieskorelowane, a X 2 , Y 2 są nieskorelowane. Zobacz moją odpowiedź na powiązane pytanie tutaj . XYX,YX2,Y2
Makro
5
@Macro Zdaję sobie sprawę z poruszonych kwestii. To, co próbowałem przekonać OP do zrozumienia i / lub samodzielnego zrozumienia, to to, że dla niezależnych zmiennych losowych, podobnie jak upraszcza do E [ X 2 Y 2 ] = E [ X 2 ] E [ Y 2 ] = ( σ 2 X + μ 2 X ) ( σ 2 Y + μ 2 YE[X2Y2]E [ ( X 1X n ) 2 ] upraszcza do E [ ( X 1X n ) 2 ] = E [ X 2 1 ] E [ X 2 n ] = n i = 1 ( σ 2 X i + μ 2 X i )
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
co, jak sądzę, jest bardziej bezpośrednim sposobem na osiągnięcie ostatecznego wyniku niż metoda indukcyjna, na którą wskazał Whuber.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate, nice. Sugeruję, abyś opublikował to jako odpowiedź, abym mógł ją głosować!
Makro

Odpowiedzi:

38

X1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2n=2X1X2X1X2X12X22n3
Dilip Sarwate
źródło
wielkie dzięki! Bardzo to doceniam. Tak, pytanie dotyczyło niezależnych zmiennych losowych.
damla
X1=X2==Xn=X
Zadałem pytanie na nowej stronie. Wielkie dzięki! stats.stackexchange.com/questions/53380/…
damla
n
3