Wszystko w porządku. Wczesne odniesienie do bardziej ogólnego wyniku, który obejmuje ten, to Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); patrz wniosek 1 Twierdzenia 2.
Odpowiedzi:
48
Bardziej konwencjonalną notacją jest
y(μ,σ)=∫Φ(x−μσ)ϕ(x)dx=Φ(−μ1+σ2−−−−−√).
Można to znaleźć, różnicując całkę względem i σ , tworząc całki elementarne, które można wyrazić w postaci zamkniętej:μσ
∂y∂μ(μ,σ)=−12π−−√σ2+1−−−−−√e−12μ2σ2+1,
∂y∂σ(μ,σ)=μσ2π−−√(σ2+1)3/2e−12μ2σ2+1.
System ten może być włączone, począwszy od stanu początkowego = ∫ cp ( x ) φ ( x ) d x = 1 / 2 , w celu uzyskania danego rozwiązania (która jest łatwo sprawdzić różnicowania).y(0,1)∫Φ(x)ϕ(x)dx1/2
Dwukrotnie sprawdziłem odpowiedź za pomocą całkowania numerycznego i obrysowania współczynników dla , 0 < σ ≤ 2 : zgodność dotyczy jedenaście znaczących liczb w tym zakresie. −2≤μ≤20<σ≤2
whuber
wow, sprytne rozwiązanie.
Cam.Davidson.Pilon
2
Myślę, że można to zrobić prawie przez inspekcję. Pierwszy termin w całce jest jednorodną zmienną losową [0,1]. Ponieważ normalny pdf jest symetryczny, całka powinna wynosić 12)
soakley,
1
@ soakley Twoje podejście działa dla , ale nie jest jasne, w jaki sposób miałoby zastosowanie do innych argumentów y . y( 0 , 1 )y
whuber
1
@whuber Przepraszamy za brak zrozumienia, ale kiedy mamy już dwie zamknięte formularze dla pochodnej i warunek początkowy, jak przejść od tego do ostatecznego rozwiązania? Innymi słowy, co zrobiłeś z wyrażeniami w formie zamkniętej dla pochodnych i warunku początkowego?
user106860,
63
Niech i Y będą niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi z X ∼ N ( a , b 2 ), a Y standardową normalną zmienną losową. Następnie P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aXYX∼ N.( a , b2))YTak więc, stosując prawo całkowitego prawdopodobieństwa, otrzymujemy, że
P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X≤Y∣Y=w}ϕ(w)
P.{ X≤ Y∣ Y= w } =P{ X≤w}=Φ(w−ab).
Teraz P { X ≤ Y } = P { X - Y ≤ 0 } można wyrazić w kategoriach Φ ( ⋅ ) , zwracając uwagę, że X - Y ∼ N ( a , b 2 + 1 ) , a zatem otrzymujemy
∫ ∞ - ∞ Φ ( w - a
P{X≤Y}=∫∞−∞P{X≤Y∣Y= w } ϕ ( w)d w=∫∞−∞Φ(w−ab)ϕ(w)dw.
P.{ X≤ Y} = P{ X- Y≤ 0 }Φ ( ⋅ )X- Y∼ N.( a , b2)+ 1 )
który jest taki sam jak wynik w odpowiedzi Whubera.
dIdγ=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√∫∞−∞a2π−−−√exp(−12a(x−b2a)2)dx=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√=12πσ2za−−---√exp( - 12)( c - b2)4 a) )= 12 π(1+σ2ξ2)−−−−−−−−−−−√exp(−12γ21+ξ2σ2)
Odpowiedzi:
Bardziej konwencjonalną notacją jest
Można to znaleźć, różnicując całkę względem i σ , tworząc całki elementarne, które można wyrazić w postaci zamkniętej:μ σ
System ten może być włączone, począwszy od stanu początkowego = ∫ cp ( x ) φ ( x ) d x = 1 / 2 , w celu uzyskania danego rozwiązania (która jest łatwo sprawdzić różnicowania).y(0,1) ∫Φ(x)ϕ(x)dx 1/2
źródło
Niech i Y będą niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi z X ∼ N ( a , b 2 ), a Y standardową normalną zmienną losową. Następnie P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aX Y X∼ N.( a , b2)) Y Tak więc, stosując prawo całkowitego prawdopodobieństwa, otrzymujemy, że
P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X≤Y∣Y=w}ϕ(w)
źródło
Oto inne rozwiązanie: definiujemyja( γ)= ∫∞- ∞Φ ( ξx + γ) N( x | 0 , σ2)) dx , γ= - ξμ ja( γ) ja( 0 ) = 0 γ
rejareγ= ∫∞- ∞N.( ( ξx + γ) | 0 , 1 ) N.( x | 0 , σ2)) dx= ∫∞- ∞12 π--√exp( - 12)( ξx + γ)2)) 12 πσ2)----√exp( - x2)2 σ2)) dx . ( ξx + γ)2)+ x2)σ2)= ( ξ2)+ σ- 2)= ax2)+ - 2 γξ= bx + γ2)=c=a(x−b2a)2+(c−b24a)(c−b24a)=γ2−4γ2ξ24(ξ2+σ−2)=γ2(1−ξ2ξ2+σ−2)=γ2(11+ξ2σ2) dIdγ=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√∫∞−∞a2π−−−√exp(−12a(x−b2a)2)dx=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√=12πσ2za−−---√exp( - 12)( c - b2)4 a) )= 12 π(1+σ2ξ2)−−−−−−−−−−−√exp(−12γ21+ξ2σ2)
co implikuje
źródło