Jak obliczyć

41

Załóżmy, że ϕ() i Φ() są funkcją gęstości i funkcją rozkładu standardowego rozkładu normalnego.

Jak obliczyć całkę:

Φ(wab)ϕ(w)dw
hadisanji
źródło
5
Wszystko w porządku. Wczesne odniesienie do bardziej ogólnego wyniku, który obejmuje ten, to Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); patrz wniosek 1 Twierdzenia 2.

Odpowiedzi:

48

Bardziej konwencjonalną notacją jest

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

Można to znaleźć, różnicując całkę względem i σ , tworząc całki elementarne, które można wyrazić w postaci zamkniętej:μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

System ten może być włączone, począwszy od stanu początkowego = cp ( x ) φ ( x ) d x = 1 / 2 , w celu uzyskania danego rozwiązania (która jest łatwo sprawdzić różnicowania).y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2

Whuber
źródło
4
Dwukrotnie sprawdziłem odpowiedź za pomocą całkowania numerycznego i obrysowania współczynników dla , 0 < σ 2 : zgodność dotyczy jedenaście znaczących liczb w tym zakresie. 2μ20<σ2)
whuber
wow, sprytne rozwiązanie.
Cam.Davidson.Pilon
2
Myślę, że można to zrobić prawie przez inspekcję. Pierwszy termin w całce jest jednorodną zmienną losową [0,1]. Ponieważ normalny pdf jest symetryczny, całka powinna wynosić 12)
soakley,
1
@ soakley Twoje podejście działa dla , ale nie jest jasne, w jaki sposób miałoby zastosowanie do innych argumentów y . y(0,1)y
whuber
1
@whuber Przepraszamy za brak zrozumienia, ale kiedy mamy już dwie zamknięte formularze dla pochodnej i warunek początkowy, jak przejść od tego do ostatecznego rozwiązania? Innymi słowy, co zrobiłeś z wyrażeniami w formie zamkniętej dla pochodnych i warunku początkowego?
user106860,
63

Niech i Y będą niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi z X N ( a , b 2 ), a Y standardową normalną zmienną losową. Następnie P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYXN.(za,b2))YTak więc, stosując prawo całkowitego prawdopodobieństwa, otrzymujemy, że P{XY}=- P{XYY=w}ϕ(w)

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
Teraz P { X Y } = P { X - Y 0 } można wyrazić w kategoriach Φ ( ) , zwracając uwagę, że X - Y N ( a , b 2 + 1 ) , a zatem otrzymujemy - Φ ( w - a
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(w-zab)ϕ(w)rew.
P.{XY}=P.{X-Y0}Φ()X-YN.(za,b2)+1) który jest taki sam jak wynik w odpowiedzi Whubera.
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)
Dilip Sarwate
źródło
2

Oto inne rozwiązanie: definiujemy

ja(γ)=-Φ(ξx+γ)N.(x|0,σ2))rex,
γ=-ξμja(γ)ja(0)=0γ
rejareγ=-N.((ξx+γ)|0,1)N.(x|0,σ2))rex=-12)πexp(-12)(ξx+γ)2))12)πσ2)exp(-x2)2)σ2))rex.
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

co implikuje

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

Jenny Reininger
źródło