Znalezienie wariancji estymatora dla maksymalnego prawdopodobieństwa rozkładu Poissona

Jeśli są identyczne z rozkładami Poissona z parametrem Wypracowałem, że maksymalne oszacowanie prawdopodobieństwa to dla danych . Dlatego możemy zdefiniować odpowiedni estymator Moje pytanie brzmi: jak opracowałbyś wariancję tego estymatora?$K_1, \dots, K_n$$\beta$

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

W szczególności, ponieważ każdy podąża za rozkładem Poissona z parametrem wiem, z właściwości Poissona, że ​​rozkład będzie podążał za rozkładem Poissona z parametrem , ale co jest rozkład ?$K_i$$\beta$$\sum_{i=1}^n K_i$$n \beta$$T$

$T$ jest dystrybuowany ... jako zmienna Poissona skalowana przez . Zatem wariancja wynosi .$n$$T$$1/n^2 \times n\beta$

Pamiętaj, że zawsze. Ale jeśli są niezależne, jaka jest wartość ? To wszystko, czego potrzebujesz, aby odpowiedzieć na pytanie.

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$