Proszę bardzo - trzy przykłady. Uczyniłem kod o wiele mniej wydajnym niż w prawdziwej aplikacji, aby logika była bardziej przejrzysta (mam nadzieję).
# We'll assume estimation of a Poisson mean as a function of x
x <- runif(100)
y <- rpois(100,5*x) # beta = 5 where mean(y[i]) = beta*x[i]
# Prior distribution on log(beta): t(5) with mean 2
# (Very spread out on original scale; median = 7.4, roughly)
log_prior <- function(log_beta) dt(log_beta-2, 5, log=TRUE)
# Log likelihood
log_lik <- function(log_beta, y, x) sum(dpois(y, exp(log_beta)*x, log=TRUE))
# Random Walk Metropolis-Hastings
# Proposal is centered at the current value of the parameter
rw_proposal <- function(current) rnorm(1, current, 0.25)
rw_p_proposal_given_current <- function(proposal, current) dnorm(proposal, current, 0.25, log=TRUE)
rw_p_current_given_proposal <- function(current, proposal) dnorm(current, proposal, 0.25, log=TRUE)
rw_alpha <- function(proposal, current) {
# Due to the structure of the rw proposal distribution, the rw_p_proposal_given_current and
# rw_p_current_given_proposal terms cancel out, so we don't need to include them - although
# logically they are still there: p(prop|curr) = p(curr|prop) for all curr, prop
exp(log_lik(proposal, y, x) + log_prior(proposal) - log_lik(current, y, x) - log_prior(current))
}
# Independent Metropolis-Hastings
# Note: the proposal is independent of the current value (hence the name), but I maintain the
# parameterization of the functions anyway. The proposal is not ignorable any more
# when calculation the acceptance probability, as p(curr|prop) != p(prop|curr) in general.
ind_proposal <- function(current) rnorm(1, 2, 1)
ind_p_proposal_given_current <- function(proposal, current) dnorm(proposal, 2, 1, log=TRUE)
ind_p_current_given_proposal <- function(current, proposal) dnorm(current, 2, 1, log=TRUE)
ind_alpha <- function(proposal, current) {
exp(log_lik(proposal, y, x) + log_prior(proposal) + ind_p_current_given_proposal(current, proposal)
- log_lik(current, y, x) - log_prior(current) - ind_p_proposal_given_current(proposal, current))
}
# Vanilla Metropolis-Hastings - the independence sampler would do here, but I'll add something
# else for the proposal distribution; a Normal(current, 0.1+abs(current)/5) - symmetric but with a different
# scale depending upon location, so can't ignore the proposal distribution when calculating alpha as
# p(prop|curr) != p(curr|prop) in general
van_proposal <- function(current) rnorm(1, current, 0.1+abs(current)/5)
van_p_proposal_given_current <- function(proposal, current) dnorm(proposal, current, 0.1+abs(current)/5, log=TRUE)
van_p_current_given_proposal <- function(current, proposal) dnorm(current, proposal, 0.1+abs(proposal)/5, log=TRUE)
van_alpha <- function(proposal, current) {
exp(log_lik(proposal, y, x) + log_prior(proposal) + ind_p_current_given_proposal(current, proposal)
- log_lik(current, y, x) - log_prior(current) - ind_p_proposal_given_current(proposal, current))
}
# Generate the chain
values <- rep(0, 10000)
u <- runif(length(values))
naccept <- 0
current <- 1 # Initial value
propfunc <- van_proposal # Substitute ind_proposal or rw_proposal here
alphafunc <- van_alpha # Substitute ind_alpha or rw_alpha here
for (i in 1:length(values)) {
proposal <- propfunc(current)
alpha <- alphafunc(proposal, current)
if (u[i] < alpha) {
values[i] <- exp(proposal)
current <- proposal
naccept <- naccept + 1
} else {
values[i] <- exp(current)
}
}
naccept / length(values)
summary(values)
W przypadku waniliowego samplera otrzymujemy:
> naccept / length(values)
[1] 0.1737
> summary(values)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.843 5.153 5.388 5.378 5.594 6.628
co jest niskim prawdopodobieństwem akceptacji, ale nadal ... dostrojenie propozycji pomogłoby tutaj lub przyjęcie innej. Oto wyniki propozycji losowego spaceru:
> naccept / length(values)
[1] 0.2902
> summary(values)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.718 5.147 5.369 5.370 5.584 6.781
Podobne wyniki, jak można się spodziewać, i większe prawdopodobieństwo akceptacji (dążenie do ~ 50% z jednym parametrem).
I, dla kompletności, próbnik niezależności:
> naccept / length(values)
[1] 0.0684
> summary(values)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
3.990 5.162 5.391 5.380 5.577 8.802
Ponieważ nie „dostosowuje się” do kształtu tylnej części ciała, ma najgorsze prawdopodobieństwo akceptacji i najtrudniej jest dostroić się do tego problemu.
Zauważ, że ogólnie rzecz biorąc wolelibyśmy propozycje z grubszymi ogonami, ale to zupełnie inny temat.
Widzieć:
Artykuł w Wikipedii jest dobrym uzupełnieniem. Jak widać, Metropolis ma również „współczynnik korekcji”, ale, jak wspomniano powyżej, Hastings wprowadził modyfikację, która pozwala na niesymetryczne rozkłady propozycji.
Algorytm Metropolis zaimplementowana w pakiecie R
mcmc
na podstawie poleceniametrop()
.Inne przykłady kodu:
http://www.mas.ncl.ac.uk/~ndjw1/teaching/sim/metrop/
http://pcl.missouri.edu/jeff/node/322
http://darrenjw.wordpress.com/2010/08/15/metropolis-hastings-mcmc-algorithms/
źródło
dnorm(can,mu,sig)/dnorm(x,mu,sig)
w próbniku niezależności pierwszego łącza nie jest równy 1. Pomyślałem, że powinien on być równy 1, gdy używa się symetrycznego rozkładu propozycji. Czy to dlatego, że jest to niezależny sampler, a nie zwykły MH nieprzypadkowy? Jeśli tak, jaki jest stosunek Hastingsa dla zwykłego MH bez marszu?