Badałem znaczenie dodatnich półokreślonych właściwości macierzy korelacji lub kowariancji.
Szukam jakichkolwiek informacji na temat
- Definicja dodatniej półokreśloności;
- Jego ważne właściwości, praktyczne implikacje;
- Konsekwencja negatywnego wyznacznika, wpływ na analizę wielowymiarową lub wyniki symulacji itp.
Odpowiedzi:
Wariancja sumy ważonej zmiennych losowych musi być nieujemna dla wszystkich wyborów liczb rzeczywistych . Ponieważ wariancja może być wyrażona jako mamy, że macierz kowariancji musi być dodatnim półfinałem (który jest czasem nazywany nieujemnym określonym). Przypomnij sobie, że macierz nazywana jest dodatnim półfinałem tylko wtedy, gdya i var ( ∑ i a i X i ) = ∑ i ∑ j a i a j cov ( X i , X j ) = ∑ i ∑ j a i a j Σ i , j , Σ = [ Σ i , j ] C ∑ i ∑ j∑jazajaXja zaja
źródło
Odpowiedź jest dość prosta.
Macierz korelacji jest zdefiniowana w następujący sposób:
Niech będzie macierzą danych: obserwacjami, zmiennymi.m × n m nX=[x1,x2,...,xn] m×n m n
Zdefiniuj jako macierz znormalizowanych danych, gdzie jest średnią dla zmiennej 1, średnią dla zmiennej 2 itd., a standardowe odchylenie zmiennej 1 itd., a jest wektorem wszystkich 1s.Xb=[(x1−μ1e)s1,(x2−μ2e)s2,(x3−μ3e)s3,...] μ1 μ2 s1 e
Macierz korelacji jest wtedy
Macierz jest dodatnia półokreślona, jeśli nie ma wektora takiego, że .A z z′Az<0
Załóżmy, że nie jest jednoznacznie określony. Następnie istnieje wektor w taki, że .C w′Cw<0
źródło
(Ewentualna luźność w rozumowaniu byłaby moja. Nie jestem matematykiem: to przedstawienie, nie dowód i pochodzi z moich eksperymentów numerycznych, nie z książek.)
Ryc.1.
Ryc2
Ryc. 3.
źródło