Mam obserwowany eksperymentalnie rozkład, który wygląda bardzo podobnie do rozkładu gamma lub logarytmicznego. Czytałem, że rozkład logarytmiczny jest maksymalnym rozkładem prawdopodobieństwa entropii dla wariantu losowego dla którego ustalona jest średnia i wariancja . Czy rozkład gamma ma podobne właściwości?
29
Odpowiedzi:
Jeśli chodzi o różnice jakościowe, lognormal i gamma są, jak mówisz, dość podobne.
Rzeczywiście, w praktyce często wykorzystuje się je do modelowania tych samych zjawisk (niektórzy używają gamma, a inni logarytmicznie). Oba są, na przykład, modelami o stałym współczynniku zmienności (CV dla lognormal wynosi , dla gamma jest to1/√eσ2−1−−−−−−√ 1/α−−√ ).
[W jaki sposób może być stały, jeśli zależy od parametru, pytasz? Ma to zastosowanie podczas modelowania wagi (lokalizacja dla skali dziennika); dla logarytmu normalnego działa jako parametr skali, podczas gdy dla gamma skala jest parametrem, który nie jest parametrem kształtu (lub jest odwrotny, jeśli używasz parametryzacji szybkości kształtu). Wywołam parametr skali dla rozkładu gamma β . Gamma GLM modelują średnią ( μ = α β ), utrzymując stałą α ; w takim przypadku μ jest również parametrem skali. Model o zmiennej μ i stałej α lub σμ β μ=αβ α μ μ α σ będzie miał odpowiednio stałe CV.]
Warto spojrzeć na gęstość ich kłód , co często pokazuje bardzo wyraźną różnicę.
Dziennik logarytmicznej zmiennej losowej jest ... normalny. Jest symetryczny.
Dziennik zmiennej losowej gamma jest przekrzywiony w lewo. W zależności od wartości parametru kształtu może być dość pochylony lub prawie symetryczny.
Oto przykład, gdzie zarówno lognormal, jak i gamma mają średnią 1 i wariancję 1/4. Górny wykres pokazuje gęstości (gamma na zielono, logarytm normalny na niebiesko), a dolny pokazuje gęstość logów:
(Przydatne jest również wykreślanie dziennika gęstości kłód. To znaczy, przyjmowanie skali dziennika na osi y powyżej)
źródło
Aby odpowiedzieć na pytanie dotyczące procesów fizycznych generujących te rozkłady: Rozkład logarytmiczny powstaje, gdy logarytm X jest zwykle rozkładany, na przykład, jeśli X jest iloczynem bardzo wielu małych czynników. Jeśli X jest rozkładem gamma, jest to suma wielu zmiennych rozkładów wykładniczych. Na przykład czas oczekiwania na wiele zdarzeń procesu Poissona.
źródło