Dlaczego test F w Gaussowskich modelach liniowych jest najbardziej wydajny?

12

W przypadku Gaussowskiego modelu liniowego gdzie zakłada się, że leży w pewnej przestrzeni wektorowej a ma standardowy rozkład normalny na , statystyka testu dla , gdzie jest przestrzeń wektorową, to zwiększa się do jedną z funkcji odchyleń statystyki: Skąd możemy wiedzieć, że ta statystyka zapewnia najsilniejszy test dla H_0Y=μ+σGμWGRnFH0:{μU}UW

f=ϕ(2logsupμW,σ>0L(μ,σ|y)supμU,σ>0L(μ,σ|y)).
H0(może po odrzuceniu nietypowych szczególnych przypadków)? Nie wynika to z twierdzenia Neymana-Pearsona, ponieważ twierdzenie to twierdzi, że test współczynnika prawdopodobieństwa jest najsilniejszy w przypadku hipotez punktowych H0:{μ=μ0,σ=σ0} i H1:{μ=μ1,σ=σ1} .
Stéphane Laurent
źródło
Rodziny MLR i twierdzenie Karlina-Rubina mogą być tutaj istotne.
whuber
Możesz przepisać H0:μU aby mieć postać taką jak H0:δ=0 (w przeciwieństwie do alternatywy, że nie jest to 0). Zasadniczo δ będzie w odpowiednim podprzestrzeni ilorazowej W/U
Glen_b
@Glen_b A zatem masz na myśli, że twierdzenie Neymana-Pearsona zawiera wniosek?
Stéphane Laurent
1
Nie jestem ekspertem od tego materiału i prawdopodobnie będzie coś ważnego, co przeoczyłem, ale myślę, że artykuł Neymana i Pearsona omawia hipotezy, które zawierają nieokreślone parametry inne niż te w teście; prawdopodobnie warto się temu przyjrzeć.
Glen_b
2
Drogi @ StéphaneLaurent: Nie możemy tego wiedzieć, ponieważ to nieprawda.
kardynał

Odpowiedzi:

5

Od jakiegoś czasu podążam za tym pytaniem, mając nadzieję, że ktoś, kto ma głębszy wgląd w klasyczną teorię testów, może wyjaśnić, dlaczego ten test nie jest jednakowo najmocniejszy w ogóle tak jak pisze w komentarzu @cardinal. To jest folklor, że najsilniejsze testy o jednolitych właściwościach mogą być konstruowane tylko dla jednostronnych hipotez dotyczących parametrów jednowymiarowych, ale taki komentarz tak naprawdę nie odpowiada na pytanie.F

Przykład 5.5 w statystykach teoretycznych Coxa i Hinkleya pokazuje, że test jest jednostajnie najsilniejszym podobnym testem dla średniej jednowymiarowej o nieznanej wariancji. Odnosząc się do technik zawartych w analizie wariancji Scheffé, ten sam przykład twierdzi, że test hipotezy na jednym parametrze w przypadku wielowymiarowym jest nadal niezwykle silnym podobnym testem z pozostałymi parametrami i wariancją jako parametrami uciążliwymi. Gdy kodimension wynosi 1, test jest równoważny testowi .ttUFt

Przykład 5.20, wciąż w Cox i Hinkley, rozważa jednokierunkową ANOVA. Argumentuje, że w przypadku co najmniej trzech grup nie ma jednoznacznie najpotężniejszego podobnego testu hipotezy, że nie ma różnic między grupami. Daje składniki za pokazanie, że -test nie jest jednostajnie najmocniejszy, ponieważ dla konkretnych alternatyw istnieją mocniejsze -tests. Test jest jednak najbardziej niezmiennie najbardziej niezmiennym testem niezmiennie .FtF

Co zatem oznacza podobne i niezmienne ? Zagnieżdżona sekwencja obszarów krytycznych dla testów wielkości nazywa się podobna, jeśli prawdopodobieństwo odrzucenia w ramach hipotezy wynosi (dla wszystkich możliwych wyborów uciążliwych parametrów). Test jest niezmienny, jeśli regiony krytyczne są niezmienne w grupie transformacji. Dla jednokierunkowej ANOVA grupa jest grupą przekształceń ortogonalnych. Polecam przeczytać rozdział 5 w Cox i Hinkley, aby uzyskać więcej informacji. Zobacz także rozdział 2.10 w książce Scheffé na temat optymalnych właściwości testuα[0,1]αF

NRH
źródło