Dlaczego rozkład geometryczny i rozkład hipergeometryczny są nazywane jako takie?

Tak, terminy odnoszą się do funkcji masy prawdopodobieństwa (pmfs).

2500 lat temu Euclid (w księgach VIII i IV swoich elementów ) badał sekwencje długości o wspólnych proporcjach. . W pewnym momencie takie sekwencje stały się znane jako „postępy geometryczne” (chociaż termin „geometryczny” mógł z podobnego powodu równie łatwo zostać zastosowany do wielu innych regularnych szeregów, w tym również tych zwanych teraz „arytmetycznymi”).

Funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego z parametrem $p$ tworzy postęp geometryczny

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Tutaj wspólna proporcja wynosi . $1-p$

Kilkaset lat temu znaczna generalizacja takich postępów stała się ważna w badaniach krzywych eliptycznych, równań różniczkowych i wielu innych głęboko powiązanych ze sobą obszarów matematyki. Uogólnienie zakłada, że względne proporcje między kolejnymi terminami na pozycjach i mogą się różnić, ale ogranicza charakter tej zmiany: proporcje muszą być daną racjonalną funkcją . Ponieważ wychodzą one „ponad” lub „poza” postęp geometryczny (dla którego funkcja wymierna jest stała), nazwano je hipergeometrycznymi od starożytnego greckiego przedrostka $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ („hyper”).

Funkcją masy prawdopodobieństwa z hypergeometric funkcji z parametrami a ma postać $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

dla odpowiedniego . Stosunek kolejnych prawdopodobieństw jest zatem równy $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

racjonalna funkcja stopnia . To umieszcza prawdopodobieństwa w (szczególnym rodzaju) progresji hipergeometrycznej. $k$ $(2,2)$

Whuber
źródło

Dzięki! Czy istnieją inne rozkłady, których pmfs również tworzą progresje geometryczne lub hipergeometryczne?

Tim

Jeśli pmf tworzy postęp geometryczny, musi być przesuniętym, przeskalowanym i / lub obciętym rozkładem geometrycznym. Jeśli tworzy hipergeometryczny postęp stopnia (2,2), to podobny wniosek jest podobny. Istnieją rozkłady powiązane z dowolną serią, która sumuje się do wartości skończonej, więc rozkład hipergeometryczny uogólnia się na wiele innych rozkładów (przy użyciu różnych funkcji wymiernych). Większość z nich nie ma nazwisk. Jednym wyjątkiem jest ujemny rozkład dwumianowy, którego pmf jest hipergeometryczny stopnia (1,1).

whuber

Dzięki! Czy pmf rozkładu Poissona tworzy jakąś specjalną serię / progresję? Biorąc pod uwagę rozkład Poission z parametrem częstości , a następnie . Czy pmf tworzy jakąś specjalną serię lub progresję?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

Tim

Tak, to racjonalna funkcja stopnia (0,1), więc pasuje do ogólnej definicji progresji hipergeometrycznej.

whuber

Według jednego źródła wynika to z tego, że dla rozkładu geometrycznego pmf (k) jest średnią geometryczną pmf (k-1) i pmf (k + 1). Średnia geometryczna dwóch liczb A i B to . Klasycznie problem ten interpretowano jako znalezienie długości boków kwadratu o powierzchni równej prostokątowi o bokach długości A i B, problem geometryczny. $\sqrt{A B}$

veryshuai
źródło

Twoje źródło odwołuje się do spekulacji, o których mówiłem (nieco eliptycznie) na początku mojej odpowiedzi. Internet jest pełen ludzi, którzy robią to samo, ale ponieważ geometrycznie równie łatwo jest znaleźć środek arytmetyczny jako środek geometryczny, w końcu ta właściwość (posiadanie „geometrycznej” konstrukcji) niczego nie wyjaśnia. Bardzo interesujące byłoby znalezienie autorytetu, który mógłby wyśledzić faktyczne historyczne zastosowania „geometrycznych” i „arytmetycznych”, aby pomóc nam zrozumieć, w jaki sposób te terminy powstały.

whuber

Dlaczego rozkład geometryczny i rozkład hipergeometryczny są nazywane jako takie?

Odpowiedzi: