Formuła formy zamkniętej dla funkcji rozkładu obejmującej skośność i kurtozę?

13

Czy istnieje taka formuła? Biorąc pod uwagę zestaw danych, dla których znana jest lub można zmierzyć średnią, wariancję, skośność i kurtozę, czy istnieje jeden wzór, który można zastosować do obliczenia gęstości prawdopodobieństwa wartości, którą zakłada się na podstawie wyżej wymienionych danych?

distributions pdf kurtosis skewness czytnik babelproofreader
źródło
Dla każdego rozkładu normalnego (gaussowskiego) skośność wynosi ponieważ jest symetryczna, a nadmiar kurtozy jest również 0 od właściwości rozkładu normalnego. W przypadku innych rozkładów średnia, wariancja, skośność i kurtoza nie są wystarczające, aby zdefiniować rozkład, chociaż zwykle można znaleźć przykłady. 00
Henry
1
@Henry Właściwie w większości rodzin rozkładów parametrów dla k ≤ 4 pierwsze cztery momenty - które można odzyskać ze średniej, wariancji, skośności i kurtozy - są zwykle wystarczające do zidentyfikowania rozkładu. kk≤4
whuber
@ whuber: To brzmi dla mnie nieco jako okrągłe: ograniczenie dystrybucji do rodziny, w której są cztery lub mniej parametrów, znajomość czterech statystyk rozkładu często identyfikuje parametry. Zgadzam się. Ale jednym z moich punktów było zasadniczo to, że nieograniczone są różne możliwości rozkładów przy zasadniczo różnych gęstościach prawdopodobieństwa w poszczególnych punktach, nawet przy tych samych pierwszych czterech momentach ogółem.
Henry
1
Rozumiem, co masz na myśli, Henry: przez „inne rozkłady” miałeś na myśli w szerokim znaczeniu ogólnym, podczas gdy moja odpowiedź przyjęła to w znaczeniu rozkładów powszechnie używanych w statystykach (które rzadko mają więcej niż cztery parametry). Myślę, że Twój kodicil - „choć zwykle można znaleźć przykłady” - mógł sugerować moją węższą interpretację.
whuber

Odpowiedzi:

12

Istnieje wiele takich wzorów. Pierwszą udaną próbę precyzyjnego rozwiązania tego problemu podjął Karl Pearson w 1895 r., Ostatecznie doprowadzając do systemu dystrybucji Pearsona . Ta rodzina może być sparametryzowana przez średnią, wariancję, skośność i kurtozę. Obejmuje, jak znane przypadki specjalne, rozkłady normalny, student-t, chi-kwadrat, odwrotna gamma i F. Kendall i Stuart Vol 1 podają szczegóły i przykłady.

Whuber
źródło
7

To brzmi jak podejście „dopasowujące moment” do dopasowania rozkładu do danych. Ogólnie uważa się, że nie jest to świetny pomysł (tytuł postu na blogu Johna Cooka to „statystyczny ślepy zaułek”).

shabbychef
źródło
1

Test K2 D'Agostino pokaże, czy rozkład próbki pochodzi z rozkładu normalnego opartego na skośności i kurtozie próbki.

Jeśli chcesz wykonać test przy założeniu nietypowego rozkładu (być może z wysoką skośnością lub kurtozą), musisz dowiedzieć się, jaki jest rozkład. Możesz spojrzeć na rozkład normalny skośny i uogólniony rozkład normalny . Jeśli to zrobisz, rozważ także inne dystrybucje.

Thomas Levine
źródło