Czy w ramach testu Kołmogorowa – Smirnowa sformułowano dwa jednostronne testy równoważności (TOST) w celu przetestowania negatywnej hipotezy zerowej, że dwie rozkłady różnią się co najmniej o poziom określony przez badacza?
Jeśli nie TOST, to jakaś inna forma testu równoważności?
Nick Stauner mądrze wskazuje, że (powinienem już wiedzieć;), że istnieją inne nieparametryczne testy równoważności TOST dla hipotez zerowych dla równoważności stochastycznej oraz, przy bardziej restrykcyjnych założeniach, dla równoważności mediany.
kolmogorov-smirnov
equivalence
tost
Alexis
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Ok, oto moja pierwsza próba. Doceniamy dokładną analizę i komentarze!
Hipotezy z dwiema próbkami
Jeśli możemy sformułować dwustronne testy hipotez Kołmogorowa-Smirnowa z hipotezami zerowymi i naprzemiennymi wzdłuż tych linii:
H 0 : F Y ( t ) ≥ F X ( t ) i0: FY(t)≥FX(t)
H A : F Y ( t ) < F X ( t ) , dla co najmniej jednego t , gdzie:A: FY(t)<FX(t) t
statystyki testu odpowiada H ; i0 : F Y ( t ) ≤ F X ( t )re+= | maxt( F.Y( t ) - FX( t ) ) | 0: FY( t ) ≤ F.X( t )
F X ( t ) Y XfaY( t ) i to empiryczne CDF próbek i ,FX(t) Y X
wówczas rozsądne jest stworzenie ogólnej hipotezy przedziałowej dla testu równoważności według tych linii (zakładając, że przedział równoważności jest obecnie symetryczny):
H i−0: |FY(t)−FX(t)|≥Δ
H , dla co najmniej jednego .t−A: |FY(t)−FX(t)|<Δ t
Przekładałoby się to na konkretne dwie jednostronne „negatywistyczne” hipotezy zerowe w celu przetestowania równoważności (te dwie hipotezy przyjmują tę samą formę, ponieważ zarówno i są ściśle nieujemne): D -D+ D−
H , lub−01: D+≥Δ
H .−02: D−≥Δ
Odrzucenie zarówno H i H doprowadziłoby do wniosku, że . Oczywiście przedział równoważności nie musi być symetryczny, a i można zastąpić (dolny) i (górny) dla odpowiednich jednostronnych hipotez zerowych.- 02 -Δ<FY(t)-FX(t)<Δ-ΔΔΔ2Δ1−01 −02 −Δ<FY(t)−FX(t)<Δ −Δ Δ Δ2 Δ1
Statystyka testu (zaktualizowana: Delta jest poza znakiem wartości bezwzględnej)D+1 D−2 nY nX −01 −02
Statystyka testu i (pozostawiając domyślnie i ) odpowiadają odpowiednio H i H i są to: D - 2 n Y n X - 01 - 02
Próg równoważności / trafności[−Δ,Δ] [Δ2,Δ1] D+ D− nY nX D+ D− nY,nX 0 t<0 t≥0
Odstęp - lub , jeśli zastosowano asymetryczny przedział równoważności - jest wyrażany w jednostkach i lub wielkość różnych prawdopodobieństw. Gdy i zbliżają się do nieskończoności, CDF z lub dla zbliża się do dla , a dla :[ Δ 2 , Δ 1 ] D + D - n Y n X D + D - n Y , n X 0 t < 0 t ≥ 0
Wydaje mi się więc, że plik PDF dla skalowanej wielkości próby (lub skalowanej wielkości próby ) musi mieć wartość dla , a dla : D - 0 t < 0 t ≥ 0D+ D− 0 t<0 t≥0
Glen_b wskazuje, że jest to rozkład Rayleigha z . Tak więc funkcja kwantylu dużej próbki dla skalowanych wielkości próbek i to: D+D-σ=12 D+ D−
a liberalny wybór może być wartością krytyczną , a bardziej rygorystyczny wybór wartością krytyczną .Δ Qα+σ/2=Qα+14 Qα+σ/4=Qα+18
źródło
Alternatywą dla TOST w testach równoważności jest podejście oparte na przedziale ufności:
Niech oznacza określony margines równoważności i odległość Kołmogorowa-Smirnowa między nieznanymi podstawowymi funkcjami rozkładu.Δ
Teraz, jeśli 90% przedział ufności dla jest całkowicie w zakresie , możemy być w 95% pewni, że jest wystarczająco bliskie , aby mówić o „równoważności”.θ [−Δ,Δ] θ
Nie znając podstawowych rozkładów, wydaje się być beznadziejna wyprowadzić przybliżoną analityczną przedział ufności, więc może trzeba polegać na (bias poprawione) przedziały ufności bootstrap oparciu o resampling z par i . (Nie chcę jednak znaleźć warunków dla ich ważności w tej konkretnej aplikacji ...)YX Y
źródło