Czy król i rycerz mogą zmagać się z samotnym królem?

12

Wierzę, że król i dwóch rycerzy są w stanie zmusić impas do samotnego króla (choć oczywiście nie mat), ale co z królem i jednym rycerzem przeciwko samotnemu królowi?

Najpierw pomyślałem, że wymuszenie impasu będzie niemożliwe. Ustawiłem więc losową pozycję z Królem + Rycerzem kontra Królem, gdzie samotny Król był na skraju planszy, i próbowałem to przeanalizować.

Wynik: biały może zmusić impas! Sztuką jest ruch 3. Kd2 !!

Stalemate w 9 - -
1. Nb2 Ka2 2. Nc4 Ka1
( 2 ... Kb1 3. Kd2 Ka1 ( 3 ... Ka2 4. Kc2 Ka1 5. Na3 Ka2 6. Nb1 Ka1 7. Nc3 ) 4. Kc1 Ka2 5. Kc2 Ka1 6. Na3 Ka2 7. Nb1 Ka1 8. Nc3 )
3. Kd2 Kb1
( 3 ... Ka2 4. Kc2 Ka1 5. Na3 Ka2 6. Nb1 Ka1 7. Nc3 )
4. Kd1 Ka1
( 4 ... Ka2 5. Kc2 Ka1 6. Na3 Ka2 7. Nb1 Ka1 8. Nc3 )
5. Kc1 Ka2 6. Kc2 Ka1 7. Na3 Ka2 8. Nb1 Ka1 9. Nc3

Nie dowodzi to, że Król i Rycerz zawsze mogą zmusić impas do samotnego Króla, ale przynajmniej pokazuje, że nie jest całkowicie niemożliwe, aby Król + Rycerz mógł zmusić impas.

Oczywiście nie chcę odpowiedzi „tak / nie” bez dowodów potwierdzających to. Chciałbym albo niezbity dowód, albo przynajmniej bardzo mocny dowód.

Jednym z pomysłów jest zbudowanie bazy tabeli końcowej, która uwzględnia impas jako wygraną, co jest równoważne z twierdzeniem, że białe wygrywają, gdy zdobywają Króla Blacka. Musi być tylko 64 x 63 x 62 = 249984 pozycji.

Drugim pomysłem byłoby zdobycie podstawowego silnika i zmodyfikowanie jego kodu, aby uwzględniał impas jako wygraną, i prawdopodobnie możesz też wyrzucić większość kodu silnika, aby przyspieszyć jego obliczanie. Następnie obliczyć króla + rycerza kontra króla na kilku pozycjach, gdzie samotny król zaczyna na krawędzi planszy (ale nie za blisko rogu). Ale ten pomysł byłby mniej przekonujący niż podstawa stołu.

Los
źródło

Odpowiedzi:

13

Wyczerpujące przeszukanie komputera pokazuje, że zgodnie z oczekiwaniami K + N nie może na ogół zmusić się do impasu przeciwko samotnemu K.

W rzeczywistości broniący król może uniknąć impasu, o ile nie znajduje się w jednym z sześciokątnych trójkątnych sąsiedztw narożników pokazanych na poniższym schemacie

Strefa niebezpieczeństwa

nawet na długiej krawędzi każdego trójkąta (dwunastu białych królów na schemacie) impas można zmusić tylko w kilku specjalnych pozycjach. Mianowicie, Kb2 do poruszania się może zostać zablokowany siłą tylko z tej pozycji

Wzajemne Zugzwang

i jego odbicie na przekątnej a1-h8; a Ka3 do ruchu jest zawieszony tylko wtedy, gdy stoi naprzeciw Kc3 i rycerza na jednym z kwadratów b2, c5, b6, które kontrolują a4 (pierwszy z nich powstaje na początku impasu w 9 pokazanego przez Petrosiana ).

Wynika z tego również, że każda z tych czterech pozycji jest wzajemna Zugzwang: obrońca zostaje zaatakowany siłą tylko wtedy, gdy jest w ruchu. Istnieje niewiele innych Zugzwangów (do symetrii planszowych), aby wymienić je wszystkie. Jednym z nich jest unikalna pozycja utraty maksymalnej długości:

Wzajemne Zugzwang

Dwa kolejne są uzyskiwane z niego poprzez przeniesienie królów z b1 / d1 do a1 / c1 lub a2 / c2. Wreszcie Ka2 przeciwko Kc2 i Nb1 (b5) są najkrótszymi wzajemnymi Zugwangami.

Jak sugerował Glorfindel , niektóre z tych pozycji są istotne dla Troitzky kończącego KNN / KP. Na przykład jest to wzajemny Zugzwang (w zwykłym sensie wygranej BTM i remisu WTM), podobnie jak każda z trzech pozycji BTM w linii głównej 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

Wzajemne Zugzwang
Noam D. Elkies
źródło
2

Pytanie, czy król i rycerz przeciwko samemu królowi może zmusić impas, jest raczej teoretyczne. W praktyce zawsze jest to remis, ponieważ król i rycerz nie są w stanie samotnie sparować króla.

Stalemate nie może być zmuszony. Można to osiągnąć tylko wtedy, gdy sam król jest w jednym z rogów, więc sam król musi pomóc:

Marco
źródło
3
To nie jest całkowicie teoretyczna. W grze końcowej KNN vs KP, która pod pewnymi warunkami jest wygrywana po stronie rycerzy, procedura wygranej polega na zablokowaniu pionka rycerzem, zatamowaniu samotnego króla królem + rycerzem i umożliwieniu pionkowi uruchomienia podczas blokowania rycerz dostarcza mat.
Glorfindel
OP zapytał, czy możliwy jest wymuszony impas w KN przeciwko K.
Marco
2
Glorfindel ma na myśli to, że jeśli masz procedurę impasu w KN przeciwko K, możesz użyć tej procedury, aby wygrać KNN vs KP.
dfan,
2
@dfan Winning Troitzky to nie to samo, co wymuszanie impasu w KN / K. Chociaż tylko jeden N porusza się, inny N zdecydowanie pomaga w tym procesie.
user58697,
3
@ user58697 Tak, uzgodniono. Gdyby można było rzetelnie zatamować króla tylko królem i rycerzem, KNN vs KP byłby o wiele łatwiejszy!
dfan