Czy król i rycerz mogą zmagać się z samotnym królem?

Wierzę, że król i dwóch rycerzy są w stanie zmusić impas do samotnego króla (choć oczywiście nie mat), ale co z królem i jednym rycerzem przeciwko samotnemu królowi?

Najpierw pomyślałem, że wymuszenie impasu będzie niemożliwe. Ustawiłem więc losową pozycję z Królem + Rycerzem kontra Królem, gdzie samotny Król był na skraju planszy, i próbowałem to przeanalizować.

Wynik: biały może zmusić impas! Sztuką jest ruch 3. Kd2 !!

Nie dowodzi to, że Król i Rycerz zawsze mogą zmusić impas do samotnego Króla, ale przynajmniej pokazuje, że nie jest całkowicie niemożliwe, aby Król + Rycerz mógł zmusić impas.

Oczywiście nie chcę odpowiedzi „tak / nie” bez dowodów potwierdzających to. Chciałbym albo niezbity dowód, albo przynajmniej bardzo mocny dowód.

Jednym z pomysłów jest zbudowanie bazy tabeli końcowej, która uwzględnia impas jako wygraną, co jest równoważne z twierdzeniem, że białe wygrywają, gdy zdobywają Króla Blacka. Musi być tylko 64 x 63 x 62 = 249984 pozycji.

Drugim pomysłem byłoby zdobycie podstawowego silnika i zmodyfikowanie jego kodu, aby uwzględniał impas jako wygraną, i prawdopodobnie możesz też wyrzucić większość kodu silnika, aby przyspieszyć jego obliczanie. Następnie obliczyć króla + rycerza kontra króla na kilku pozycjach, gdzie samotny król zaczyna na krawędzi planszy (ale nie za blisko rogu). Ale ten pomysł byłby mniej przekonujący niż podstawa stołu.

Wyczerpujące przeszukanie komputera pokazuje, że zgodnie z oczekiwaniami K + N nie może na ogół zmusić się do impasu przeciwko samotnemu K.

W rzeczywistości broniący król może uniknąć impasu, o ile nie znajduje się w jednym z sześciokątnych trójkątnych sąsiedztw narożników pokazanych na poniższym schemacie

nawet na długiej krawędzi każdego trójkąta (dwunastu białych królów na schemacie) impas można zmusić tylko w kilku specjalnych pozycjach. Mianowicie, Kb2 do poruszania się może zostać zablokowany siłą tylko z tej pozycji

i jego odbicie na przekątnej a1-h8; a Ka3 do ruchu jest zawieszony tylko wtedy, gdy stoi naprzeciw Kc3 i rycerza na jednym z kwadratów b2, c5, b6, które kontrolują a4 (pierwszy z nich powstaje na początku impasu w 9 pokazanego przez Petrosiana ).

Wynika z tego również, że każda z tych czterech pozycji jest wzajemna Zugzwang: obrońca zostaje zaatakowany siłą tylko wtedy, gdy jest w ruchu. Istnieje niewiele innych Zugzwangów (do symetrii planszowych), aby wymienić je wszystkie. Jednym z nich jest unikalna pozycja utraty maksymalnej długości:

Dwa kolejne są uzyskiwane z niego poprzez przeniesienie królów z b1 / d1 do a1 / c1 lub a2 / c2. Wreszcie Ka2 przeciwko Kc2 i Nb1 (b5) są najkrótszymi wzajemnymi Zugwangami.

Jak sugerował Glorfindel , niektóre z tych pozycji są istotne dla Troitzky kończącego KNN / KP. Na przykład jest to wzajemny Zugzwang (w zwykłym sensie wygranej BTM i remisu WTM), podobnie jak każda z trzech pozycji BTM w linii głównej 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

Pytanie, czy król i rycerz przeciwko samemu królowi może zmusić impas, jest raczej teoretyczne. W praktyce zawsze jest to remis, ponieważ król i rycerz nie są w stanie samotnie sparować króla.

Stalemate nie może być zmuszony. Można to osiągnąć tylko wtedy, gdy sam król jest w jednym z rogów, więc sam król musi pomóc: