Obraz geometryczny za ekspanderami kwantowymi

( tutaj też nie ma odpowiedzi)

$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$ przez Harrow and Low.

Moje pytanie brzmi - czy ekspandery kwantowe dopuszczają jakąkolwiek interpretację geometryczną podobną do ekspanderów klasycznych (gdzie szczelina widmowa izoperymetria / ekspansja leżącego pod nią wykresu)? Nie definiuję formalnie „realizacji geometrycznej”, ale koncepcyjnie można mieć nadzieję, że kryterium czysto spektralne można przełożyć na jakiś obraz geometryczny (który w klasycznym przypadku jest źródłem bogactwa matematycznego, którym cieszą się ekspandery; matematyczna struktura kwantowa ekspandery wydają się być znacznie bardziej ograniczone).$\sim$

[Ta odpowiedź została skopiowana z mojej odpowiedzi na nieistniejącym już miejscu wymiany stosu teorii fizyki.] W przypadku klasycznych ekspanderów definicję spektralną można wyrazić jako drugą najmniejszą wartość własną wykresu Laplaciana, którą można traktować jako minimum postać kwadratowa nad wszystkimi wektorami jednostkowymi prostopadłymi do wektora wszystkich. Jeśli ograniczymy to minimalizowanie do wektorów postaci (a, a, ..., a, b, b, ..b), to spowoduje to rozszerzenie krawędzi wykresu. tutaj jest dyskusja. Z grubsza równoważność tych dwóch definicji jest znana jako nierówność Cheegera .

Sugeruje to, że w przypadku kwantowym powinniśmy rozważyć działanie kanału (utworzonego przez zastosowanie losowej jednostki z ekspandera) na projektory. Wynik analogiczny do nierówności Cheegera uzyskano w dodatku A do arXiv: 0706.0556 .

Z drugiej strony, chociaż jest to matematycznie analogiczne, wciąż wiemy o wielu mniejszych zastosowaniach ekspanderów kwantowych niż w przypadku ekspanderów klasycznych.