Czy hierarchia upada?

12

Czy wiemy, że hierarchia się nie zwija ( dla wszystkich d )?TC0TCd0TCd+10d

Wpis do zoo dla TC0 wspomina tylko o separacji między głębokością 2 i 3.

Czy istnieje również standardowe odniesienie do faktu, że hierarchia ACd0 się nie zwija?

Kaveh
źródło
1
Powiązanym pytaniem byłoby, ile różnych funkcji jest dostępnych w ACd0 / TCd0 ? Rozsądna dolna granica tych ilości odpowiedziałaby na twoje pytania. Również dowód na ścisłość lematu Hastada może być odpowiedzią na twoje drugie pytanie.
Mahdi Cheraghchi,
4
W przypadku drugiego pytania, sądzę, że zostało to po raz pierwszy udowodnione w pracy STIP '83 Sipsera „Zestawy Borela i złożoność obwodów” . Daje to jednak tylko super-wielomianowe dolne granice. Pierwsze wykładnicze dolne granice zostały podane przez Yao, później poprawione przez Håstad.
Robin Kothari,
@MCH, czy chciałeś napisać TCd0/ACd0 ? Czy masz na myśli liczbę klas równoważności problemów w TCd0 wrt ACd0 ?
Kaveh
2
Mam na myśli bardzo proste: ile różnych funkcji może reprezentować klasa obwodów o rozmiarze ? (Możemy bardzo łatwo oszacować liczbę obwodów, ale powinniśmy uważać, aby niektóre z nich mogły obliczyć tę samą funkcję.) Gdy pokażesz, że ta liczba rośnie wraz z , to koniec. ACd0sd
Mahdi Cheraghchi,
2
@Dilworth, nonuniform. Liczenie nie wydaje się działać, w przeciwnym razie, jak zauważyłem poniżej, moglibyśmy oddzielić od który jest otwarty. TC0NC1
Kaveh

Odpowiedzi:

15

Nie znamy dobrych dolnych granic (czyli powiedzmy superminomialnej dolnej granicy dla języka w ) dla obwodów progowych głębokości 2 (ciężary nieograniczone). Obwody o głębokości 3 zbudowane z większości bramek, tj. zawiera tę klasę, dlatego też nie znamy dobrych dolnych granic dla tej klasy.NEXPTC30

Kristoffer Arnsfelt Hansen
źródło
To odpowiada na moje pytanie. Dziękuję Kristoffer.
Kaveh
Jak napisałem w powyższym komentarzu, nawet jeśli problem w NEXP nie jest znany poza TC , czy nadal nie jest możliwe, że nierównomierna hierarchia TC jest poprawna poprzez dolną granicę argumentu zliczającego? 200
Dilworth
Czy mogę również zapytać, w jaki sposób jest to zgodne ze znanymi wykładniczymi dolnymi granicami TC i oddzieleniem głębokości 3 od obwodów progowych głębokości 2, jak podano w zoo złożoności? Czy coś brakuje? 20
Dilworth,
1
@Dilworth, myślę, że to dlatego, że jest zdefiniowany przy użyciu większości, a nie progu.
Kaveh
Hmm .. co dokładnie masz na myśli? Czy ma to związek z notatką Kristoffera na temat „nieograniczonych wag”?
Dilworth,
12

Jeśli się nie mylę, wydaje się, że udowodnienie, że hierarchia się nie zwija, jest co najmniej tak trudne, jak oddzielenie od :TCd0NC1TC0

Oznaczmy problem Boolean Formula Evaluation przez . jest dla ramach redukcji.BFEBFENC1AC0

Autorzy: Manindra Agrawal, Eric Allender i Steven Rudich, „ Redukcje złożoności obwodu: twierdzenie o izomorfizmie i twierdzenie o luce ”, 1999, jest na pod .BFENC1AC20

Załóżmy, że . Następnie dla niektórych . Dlatego . Co oznacza, że .NC1=TC0BFETCd0dNC1TCd+20TC0TCd+20

Więc dla wszystkich mamyd

TC0TCd0 implikuje i .NC1TCd+20BFETCd0

Kaveh
źródło