Twardość przeskakuje w złożoności obliczeniowej?

Problem z minimalną przepustowością polega na znalezieniu kolejności węzłów wykresu na linii całkowitej, która minimalizuje największą odległość między dowolnymi dwoma sąsiadującymi węzłami. -caterpillar jest drzewem, utworzony z głównego toru hodując ścieżki krawędziach rozłączny o długości co najwyżej z węzłami ( nazywa długości włosów). Problem minimalnej przepustowości występuje w dla 2-gąsiennic, ale jest kompletny dla 3-gąsiennic.k k P N $k$$k$$k$$P$$NP$

Oto bardzo interesujący fakt: problem minimalnej przepustowości można rozwiązać w czasie wielomianowym dla 1-gąsienic (długość włosów co najwyżej jeden), ale jest on kompletny dla cyklicznych 1-gąsienic (w cyklicznej gąsienicy dodaje się jedną krawędź, aby połączyć punkty końcowe głównej ścieżki). Tak więc dodanie dokładnie jednej krawędzi sprawia, że ​​problem kompletny.N $NP$$NP$

Jaki jest najbardziej uderzający przykład skoku twardości problemowej, w którym niewielka odmiana instancji wejściowej powoduje skok złożoności od wielomianowej rozwiązywalności w czasie do kompletności ?$NP$

Jeden z bardziej interesujących zastosowanych przykładów skoków twardości można zaobserwować w następującym problemie:

Rozważ mistrzostwa ligi piłkarskiej z drużynami: Problemem decydującym, czy dana drużyna może (nadal) wygrać ligę, jest P, jeśli w meczu drużyna wygrywająca otrzyma 2 punkty, przegrana 0 i każda drużyna otrzyma 1 punkt w meczu remisowym. Ale jeśli tak zmienić zasady, że zwycięska drużyna otrzymuje 3 punkty, tym samym problemem staje N P -hard.$n$$P$$NP$

Wynik można uogólnić dla dowolnej reguły punktu dla każdego k > 2, a nawet tylko dla trzech pozostałych rund.$(0, 1, k)$$k > 2$

Źródło: „Teoria złożoności” Ingo Wegener ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

Odpowiada to na pytanie zadane w tytule pytania, ale nie na pytanie zadane w pytaniu.

Szokujący przykład twardości skokowej wynika z pytania: „Ile satysfakcjonujących zadań ma wzór płaski, modulo ?” Ten powszechnie uważano # P twarda i jest na „większość” wartości n , a jeśli n jest liczbą całkowitą Mersenne (na przykład n = 7 , ponieważ 7 formy 2, 3 - 1 ), a następnie odpowiedź można obliczyć w czasie wielomianowym.$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

Po raz pierwszy odkrył to Valiant, w swoim przełomowym artykule na temat algorytmów holograficznych.

NIEZALEŻNY ZESTAW jest kompletny z NP dla wykresów wolnych od (krzyż, trójkąt) , ale może być rozwiązany w czasie liniowym dla wykresów bez (krzesło, trójkąt) . (Wykresy wolne od X to te, które nie zawierają wykresu z X jako indukowanego podsgrafu.)

krzesło: trójkąt: krzyż:

Zauważ, że krzyż uzyskuje się z krzesła, dodając jedną krawędź.

Nie jestem pewien, czy zgodziłbym się z twoją charakterystyką, że dodanie pojedynczego zbocza do wejścia sprawia, że ​​problem NP jest kompletny, ponieważ w rzeczywistości pozwala on na dodanie zbocza do każdego z nieskończenie wielu wystąpień wejściowych.

Oto przykład problemu, który pokazuje ostrą dychotomię wzdłuż sugerowanych linii.

Problem z określeniem, czy występuje homomorfizm grafu z wykresu wejściowego G do grafu ustalonego szablonu H, występuje w P, gdy H jest wykresem z pętlą własną lub jest dwustronnym wykresem bez pętli. Gdy H nie jest dwustronny (często można to osiągnąć przez dodanie pojedynczej krawędzi), problem staje się NP-zupełny.

• P. Hell i J. Nešetřil, Złożoność barwienia H , J. Comb. Th. B 48 92–110, 1990. doi: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

Kluczem tutaj jest to, że 2-zabarwienie jest w P (odpowiada to homomorfizmowi do , ścieżka na 3 wierzchołkach), podczas gdy 3-zabarwienie jest NP-kompletne (odpowiada to homomorfizmowi do K 3 , trójkąta).$P_3$$K_3$

Oto kolejny interesujący przykład, wywołany w wykrywaniu indukowanego podgrupy:

Teta jest wykresem, z nie sąsiadujących wierzchołkach $x,y$ , trzy ścieżki $P_1, P_2, P_3$ od $x$ do $y$ , w którym każde dwie ścieżki indukowanego cykl o długości większej niż 3.

Piramidy jest wykresem z wierzchołkiem $x$ , trójkąta $y_1,y_2,y_3$ , a ścieżki $P_i$ od $x$ do $y_i$ do siebie $i=1,2,3$ , z co najwyżej jedną ścieżkę z jednej długości.

Wreszcie, pryzmat jest wykresem z dwoma trójkąta $x_1,x_2,x_3$ i $y_1,y_2,y_3$ , a ścieżki $P_i$ z $x_i$ z $y_i$ dla każdego $i=1,2,3$ .

Łatwo to opisać na rysunkach:

Do wykrywania indukowanej theta i piramidy wiadomo, że jest w czasie wielomianowym. (W rzeczywistości najbardziej znany algorytm dla theta zajmuje czas $O(n^{11})$ , a dla piramidy zajmuje $O(n^9)$ .) Ale w przypadku wykrycia indukowanego pryzmatu problem staje się trudny do NP.

Jako odniesienie można zobaczyć „ Wykrywanie indukowanych subgrafów ” Leveque, Lin, Maffray i Trotignon. Powód, dla którego theta i piramida są stosunkowo łatwe, związany jest z problemem „trzech w jednym drzewie” opisanym w „ Problemie trzech w jednym drzewie ” Chudnovsky'ego i Seymour.

Ee ... jestem pewien, że szukasz mniej banalnych przykładów ... ale chciałbym zauważyć, że jest coś wyjątkowego w liczbie vs 3 . 2 - S A T do 3 - S A T , 2 - C O L vs. 3 - C O L itp. Intuicyjnie zawsze myślałem, że było tak, ponieważ węzeł z co najwyżej 2 krawędziami może tworzyć co najwyżej linię, ale węzeł z 3 krawędziami może tworzyć drzewo, gdy przejdziemy od 2-3, otrzymamy kombinatoryczną eksplozję.$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

Myślę, że rozmawianie o instancjach nie ma większego sensu. Możemy mówić o dwóch rozkładach instancji wejściowych o różnych trudnościach, ale byłoby bardziej interesujące, gdyby istniał związek między dystrybucją lub między instancjami w dystrybucjach.

Możemy rozważyć sparametryzowaną rodzinę dystrybucji, a następnie porozmawiać o tym, co się stanie, gdy zmienimy parametr. Być może zainteresuje Cię tak zwane zjawisko progowe , „w którym system ulega szybkiej zmianie jakościowej w wyniku niewielkiej zmiany parametru ...”. Spójrz na tę ankietę: Ehud Friedgut , „ Polowanie na ostre progi ”, Random Structures Al Algorytmy 26, 2005.

Myślę, że jednym z najbardziej uderzających i pięknych przykładów jest losowy k-SAT o klauzuli gęstości , przejście fazowe jest naprawdę niesamowite.$\Delta$

Wnioskując rodzajów dla względem lambda DEXPTIME-wraz z prenex i szeregowych 2 systemów polimorficzne typu (gdy typ kwantyfikatorów zagnieżdżonych najwyżej jednym głębokim poziomie), ale staje się nierozstrzygalnym dla stopnia-3 lub wyższej. Dziwne, że jeden dodatkowy poziom zagnieżdżenia może sprawić, że problem będzie nierozstrzygalny.

Znajdowanie stanu podstawowego płaskiego modelu Isinga z 0 polami magnetycznymi jest w P, przy niezerowym polu magnetycznym jest NP-twardy. Funkcja podziału płaskiego modelu Isinga z 0 polami magnetycznymi jest w P, przy niezerowym polu magnetycznym jest NP-twarda.

Oto miły problem z interesującym skokiem złożoności, takim jak minimalna przepustowość, którą rozwiązałeś w swoim pytaniu.

Niech będzie grafem i T drzewo rozpinające z G . Objazd do krawędzi U v ∈ E ( G ) jest unikalny U - V ścieżka w T . Przeciążenie e ∈ E ( T ) , oznaczone przez c n g G , T ( e ) to liczba objazdów, które zawierają e . Przeciążenie G w T , oznaczone przez c n g$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$ , to maksymalna zatorów na wszystkich krawędziach w T . Drzewa rozpinającego przekrwienie G , oznaczone przez a t c ( G ) , to minimalny zatorów na wszystkich drzew rozpinających o G . Problem przeciążenia drzewa opinającego pyta, czy dany wykres ma przeciążenie drzewa opinającego co najwyżej niektóre dane k .$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

Poniższy skok złożoności pokazano w: Bodlaender i wsp., Parametryzowana złożoność problemu przeciążenia drzewa opinającego , Algorytmica 64 (2012) 85–111 :

Dla każdego ustalonego i d problem można rozwiązać w czasie liniowym dla wykresów stopnia co najwyżej d . W przeciwieństwie do tego, jeśli pozwolimy tylko jeden wierzchołek nieograniczonym stopniu, problem staje się natychmiast N P pełnoporcjowych dla dowolnej stałej k ≥ 8 .$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

Zastanawiam się, dlaczego nikt o tym nie wspominał:

Horn-Sat vs K-Sat

Chyba wszyscy wiedzą, co to jest. Jeśli nie:

Horn-Sat ma na celu sprawdzenie, czy zestaw klauzul tubowych jest zadowalający (każda klauzula ma najwyżej 1 literał pozytywny).

K-Sat ma sprawdzić, czy zestaw klauzul jest zadowalający (każda klauzula może mieć więcej niż 1 literał pozytywny).

Zatem zezwolenie na więcej niż jeden literał pozytywny w każdej klauzuli sprawia, że ​​problem z P-complete NP-complete.

Kolorowanie wykresów

Jak wspomniano w innej odpowiedzi, 2-COL można rozwiązać w czasie wielomianowym, podczas gdy 3-COL jest NP-kompletny. Ale kiedy zwiększa się liczbę kolorów, po pewnym (nieznanym?) Punkcie problem staje się łatwiejszy!

Na przykład, jeśli mamy N wierzchołków i N kolorów, problem można rozwiązać, przypisując inny kolor do każdego wierzchołka.

W podobnym duchu: Permanent vs Determinant.

Właśnie przeczytałem artykuł na temat partycjonowania hypergraph . Problem jest zdefiniowany w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę dwa parametry, i L , 1 ≤ l < k problem [ P L k ] jest zdefiniowany następująco: Niech H = ( V , E ) być hipergraf i t 1 , ... , T K być nieujemne liczby całkowite takie że | V | = n = ∑ k i = 1 t i oraz | E | = $k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$. Czy istnieje zabarwienie (podział) w k podzbiorach o rozmiarze t 1 , … , t k, tak że wierzchołki każdego hipergezy w E są zabarwione co najwyżej 1 kolorem?$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

Ogólnie udowodniono, że:

• można rozwiązać w czasie wielomianowym (w n , m ) dla ustalonego k ≥ $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• jest NP-kompletne dla wszystkich stałych 2 ≤ l < $P^l_k$$2 \leq l < k$

Jeśli to nie wystarczy „przeskoczyć”, czytaj dalej. W przypadku hipergraphów z rozłącznymi krawędziami pokazano:

• jest NP-kompletne dla wszystkich ustalonych k ≥ $P^1_k$$k \geq 2$
• można rozwiązać w czasie liniowym ( wm ) dla stałych 2 ≤ l < $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet. 2010. Twarde NP i liniowe warianty partycjonowania hypergraph. Teoria Comput. Sci. 411, 1 (styczeń 2010 r.), 10–21. http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

Interesujące skoki złożoności są znane z problemu planowania w warsztacie.

$n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$$C_j$$j$

$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$

Zatem widzimy tutaj skok, gdy przechodzimy z dwóch zadań / maszyn do trzech.

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$