Liczba automorfizmów wykresu dla izomorfizmu grafowego

9

Niech i będą dwoma połączonymi wykresami regularnymi o rozmiarze . Niech być zbiorem permutacji tak, że . Jeśli następnie jest zestaw automorfizmy o .GHrnAPPGP1=HG=HAG

Jaka jest najbardziej znana górna granica rozmiaru ? Czy są jakieś wyniki dla poszczególnych klas grafów (niezawierających grafów kompletnych / cyklicznych)?A


Uwaga: Skonstruowanie grupy automorfizmów jest co najmniej tak samo trudne (pod względem złożoności obliczeniowej), jak rozwiązanie problemu izomorfizmu grafów. W rzeczywistości samo liczenie automorfizmów jest równoznaczne z czasem wielomianowym równoważnym z izomorfizmem grafowym, por. R. Mathon, „Uwaga na temat problemu zliczania izomorfizmów grafowych”.

Jim
źródło

Odpowiedzi:

9

Wormald pokazał, że jeśli jest połączonym nieregularnym wykresem z 2n wierzchołkami, to liczba automorfizmów dzieli . W szczególności daje to nietrywialną wykładniczą górną granicę dla przypadku regularnego. Być może w tym wierszu są wyniki dla ogólnych wykresów nieregularnych.G3G3n2n3k

Dla dolnej granicy rozważmy wzór z wejściami, których bramkami są dodawanie bramki wachlarza 2. Następnie za pomocą resut Torana można skonstruować -wykres regularny z wierzchołki których grupa automorfizmem koduje wszystkie możliwe oceny . Oznacza to, że liczba automorfizmów wynosi co najmniej . Pokazuje to, że istnieje wykładnicza dolna granica liczby automorfizmów wykresów regularnych w zależności od ich liczby wierzchołków.FnmodkkG(F)O(k2n)FG(F)knk

Mateus de Oliveira Oliveira
źródło
Proszę wziąć pod uwagę następujący wykres: 1. regularny i wykres regularny (żaden z nich nie jest kompletny ani cykliczny) są połączone ze sobą poprzez E liczbę krawędzi, powiedzmy, że ten połączony wykres jest nieregularnym wykresem 2. każdy wierzchołek wykres ma krawędzie z regularnym wykresem . Nie ma dwóch wierzchołków zwykłego wykresu , które mają taką samą liczbę krawędzi zwykły wykres . Czy automorfizm G może być wykładniczy? r1r2Gr1r2r1r2
Jim,
1
tak. Wykres G2 może mieć wykładniczą liczbę automorfizmów. Niech H1 będzie dowolnym regularnym wykresem r1 z n wierzchołkami, ponumerowanymi 1 ... n. Niech H2 będzie wykresem otrzymanym w następującym procesie (podzielonym na 3 komentarze). Niech D będzie wykresem diamentowym, tj. 4-cyklowym wraz z krawędzią łączącą dwa wcześniej niesąsiadujące wierzchołki. Powiedzmy, że te dwa wierzchołki są wewnętrznymi wierzchołkami D. Pozostałe dwa wierzchołki są zewnętrznymi wierzchołkami D. Oczywiście, istnieje automorfizm, który zamienia oba wewnętrzne wierzchołki i pozostawia zewnętrzne wierzchołki nietknięte.
Mateus de Oliveira Oliveira
1
Rozważmy teraz rozłączny związek dwóch cykli C1 i C2 z n (n + 1) / 2 wierzchołkami ponumerowanymi od 1 do n (n + 1) / 2. Weź również pod uwagę n (n + 1) / 2 kopie wykresu diamod. Teraz dla każdego i połącz jeden z zewnętrznych wierzchołków D_i z i-tym wierzchołkiem C1, a drugi zewnętrzny wierzchołek z i-tym wierzchołkiem C2. Następnie wykres H2 otrzymany w tym procesie jest 3-regularny i ma wykładniczą liczbę automorfizmów, ponieważ wewnętrzne wierzchołki każdego D_i można zamieniać osobno.
Mateus de Oliveira Oliveira
1
Teraz dla każdego wierzchołka v_j H1 dodajemy krawędzie 2j od v_j do wewnętrznych wierzchołków diamentów w taki sposób, że oba wewnętrzne wierzchołki diamentu D_i zostają połączone z tym samym wierzchołkiem w H1. Gwarantuje to, że wewnętrzne wierzchołki diamentu można nadal zamieniać, a zatem całkowita liczba automorfizmów na wykresie G2 jest wykładnicza.
Mateus de Oliveira Oliveira
Łatwo wykazać, że połączony wykres rzędu i maksymalnej wartościowości ma grupę automorfizmu rzędu co najwyżej . Znajdź kolejność wierzchołków w taki sposób, że zaczynając od drugiego, każdy wierzchołek sąsiaduje z co najmniej jednym wierzchołkiem, który pojawił się wcześniej. Niech będzie podgrupą ustalającą pierwsze wierzchołki. Jest to malejący łańcuch podgrup, z i . Następnie następuje twierdzenie o stabilizacji orbity, że , i dla . nknk(k1)n2Gii|G:G1|nGn=1|G1:G2|k|Gi:Gi+1|k1i{2,,n1}
verret
5

Jeśli zezwolisz na odłączanie wykresów, nie ma dobrych górnych granic w odniesieniu do liczby wierzchołków.

Dla wykresów nieregularnych weź rozłączny związek kompletnych wykresów . Następnie wykres ma wierzchołków iautomorfizmy.rlKr+1(r+1)l(r+1)!l!

tori
źródło