Sparametryzowana złożoność włączenia zwykłych języków

11

Interesuje mnie klasyczny problem REGULARNE WŁĄCZENIE JĘZYKA. Biorąc pod uwagę wyrażenie regularne , oznaczamy przez L ( E ) powiązany z nim język regularny. (Wyrażenia regularne są na stałej alfabetu Ď z unii operacji, Kleene-gwiazdkowe i konkatenacji).EL(E)Σ

Dane wejściowe: dwa wyrażenia regularne i E 2 Pytanie: Czy to prawda, że L ( E 1 ) L ( E 2 ) ?E1E2
L(E1)L(E2)

REGULARNE WŁĄCZANIE JĘZYKA jest znane z funkcji PSPACE-complete [1].

Klasyczny sposób rozwiązać (na PSPACE) jest skonstruować NFAs 1 i 2 związane z E 1 i E 2 , aby zbudować DFA D 2 z A 2 , uzupełnienie go do DFA D C, 2 , a wreszcie budowie przecięcia automat a P z a 1 i D C 2 odpowiadającej przecięciu L ( E 1 ) i L ( E 2 ) CA1A2E1E2D2A2D2CAPA1D2CL(E1)L(E2)C. Obecnie , wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma jednostki przejmującej w ścieżka A P .L(E1)L(E2)AP

Jeśli się nie mylę, cały proces może odbywać się w czasie wielomianowym, gdy jest ustalony język, ponieważ tylko wykładniczy blow-up pochodzi z przekształcenia A 2 w D 2 . Co więcej, problemem jest FPT, gdy jest sparametryzowany przez | E 2 | , długość E 2 .E2A2D2|E2|E2

To motywuje moje pytanie:

Pytanie: Kiedy jest wyrażeniem stałym, jaka jest złożoność REGULARNEGO WŁĄCZENIA JĘZYKA? Czy pozostaje kompletny z PSPACE?E1

[1] LJ Stockmeyer i AR Meyer. Problemy ze słowami wymagające czasu wykładniczego: raport wstępny. Materiały z piątego dorocznego sympozjum ACM na temat teorii obliczeń, STOC '73, s. 1-9.

Uwaga: Ponieważ nie jestem ekspertem w tej dziedzinie, uważam [1] (i powiązane dokumenty tamtych czasów) za dość nieczytelne i nie mogłem znaleźć innego dowodu kompletności PSPACE - żadnego wskaźnika do współczesnego dowodu, takiego jak książka, jest bardzo mile widziana! Ponadto wydaje się, że autorzy zezwalają na wyrównywanie wyrażeń regularnych, co, jak sądzę, jest obecnie raczej niestandardowe).

Florent Foucaud
źródło
4
Pozostaje kompletny z PSPACE, ponieważ uniwersalność językowa (tj. E1 = Sigma *) jest kompletna z PSPACE.
Denis
3
Btw zezwalając na kwadraty sprawia, że ​​problem EXPSPACE jest kompletny, a wyniki, o których wspomniałeś, nie są kwadratami.
Denis
1
Dla można go rozwiązać w stałym czasie. Dla E 1 = w dla ustalonego ciągu w jest on rozwiązywalny w czasie wielomianowym. Dla E 1 = Σ jest on kompletny z PSPACE. Czy istnieje takie E 1 takie, że problem jest N P -Complete? E1=E1=wwE1=ΣE1NP
Michael Wehar
2
Ok dzięki! @Denis, proszę, zmień to w odpowiedź (z odniesieniem), a ja to zaakceptuję!
Florent Foucaud
3
@MichaelWehar: Niektóre przypadki kompletnych koNP są tutaj udowodnione ( doi.org/10.1137/080743457 ), ale nie są dla ustalonych języków (ale dla bardzo ograniczonych klas języków)
Florent Foucaud

Odpowiedzi:

14

E1E1=Σ

Naprawdę trudno jest znaleźć nowoczesny czytelny dowód twardości PSPACE dla uniwersalności wyrażeń regularnych, ponieważ jest to obecnie uważane za folklor. Oto szybki schemat próbny, który pozwala odbudować dowód:


MΣp(n)wΣMeMw

LM$C0$C1$$Cf$CiMp(n)C0wCfCiCi+1MLMM

eΣ=Σ{$}eLMLMee1+e2++ekei

e1=(Σ)$(Σ<p(n)+Σ>p(n))$(Σ)
Cip(n)CiCi+1CiCi+1t(Σ)p(n)tttM
L(e)(Σ) if and only if LM if and only if M accepts w
dlatego zredukowaliśmy (wielomianowo) dowolny problem PSPACE do uniwersalności wyrażeń regularnych. Pominąłem kilka szczegółów, ale powinno to pozwolić na zbudowanie pełnego dowodu.

E1

(Σ)p(n)p(n)p(n)

[1] O równoważności, ograniczeniu i problemach dotyczących zwykłych i bezkontekstowych języków Harry B.Hunt, Daniel J.Rosenkrantz, Thomas G.Szymanski. Journal of Computer and System Sciences. Tom 12, wydanie 2, kwiecień 1976 r., Strony 222–268

[2] Problem równoważności wyrażeń regularnych z kwadratem wymaga przestrzeni wykładniczej . Meyer, AR i L. Stockmeyer. 13. sympozjum IEEE na temat teorii przełączania i automatyki, październik 1972 r., S. 125–129.

Denis
źródło
Wow, bardzo dziękuję za udostępnienie referencji !! To jest miłe !! :)
Michael Wehar
2
Mój kolega wskazał mi na następującą ankietę, która dotyczy tego rodzaju regularnych problemów z językiem i automatami, i zawiera dalsze przydatne odniesienia: sciencedirect.com/science/article/pii/S0890540110001999
Florent Foucaud