Ograniczasz wykorzystanie miejsca przez łączność st za pomocą wielu przebiegów?

Załóżmy, że wykres z n wierzchołkami jest przedstawiony jako strumień m krawędzi, ale nad strumieniem dozwolonych jest wiele przejść.$G$$n$$m$

Monika Rauch Henzinger, Prabhakar Raghavan i Sridar Rajagopalan zauważyli, że przestrzeń jest niezbędna do ustalenia, czy istnieje ścieżka między dwoma podanymi wierzchołkami w G , jeśli dopuszcza się k przejść przez dane. (Zobacz także wersję raportu technicznego .) Nie zapewniają one jednak algorytmu umożliwiającego osiągnięcie tego ograniczenia. Zakładam, że optymalny algorytm faktycznie wziąłby O ( ( $\Omega(n/k)$$G$$k$ przestrzeń w realistycznym modelu obliczeniowym, ponieważ trzeba rozróżnić n różnych wierzchołków, jeśli nie można indeksować pamięci za pomocą wskaźników o stałym rozmiarze.$O((n\, \log\, n)/k)$$n$

Jak można zdecydować o połączeniu grafu za pomocą przejść za pomocą O ( ( $k$ spacja?$O((n\, \log\, n)/k)$

Jeśli dozwolone jest tylko jedno przejście, dane wejściowe mogą być przechowywane jako partycja zestawu wierzchołków, łącząc zestawy, jeśli krawędź jest widoczna między wierzchołkami w dwóch różnych zestawach. Wymaga to najwyżej co najwyżej przestrzeń. Moje pytanie dotyczy k > 1 : jak można użyć większej liczby przejść, aby zmniejszyć wymaganą przestrzeń?$O(n\, \log\, n)$$k > 1$

(Aby uniknąć trywialności, jest parametrem, którego a priori nie można ograniczyć stałą, a granice przestrzeni są wyrażeniami obejmującymi funkcje zarówno n, jak i k .)$k$$n$$k$

Aktualizacja: nawet dla naprawdę przydatny byłby sposób przechowywania tylko n / 2 wierzchołków. Czy jest tam rzeczywiście silniejszy dolny c n dla pewnej stałej c , niezależnie od k ?$k=2$$n/2$$cn$$c$$k$

Od dawna otwartym problemem jest znalezienie algorytmu łączności st, który działa jednocześnie w przestrzeni subliniowej i czasie wielomianowym, co jest łatwiejszym zadaniem niż to, do czego dążysz. Takie algorytmy są znane dla wersji bezkierunkowej , ale nawet one wymagają dużego czasu wielomianowego (zamiast czasu O (km), co wynikałoby z algorytmu k-pass). Zobacz w szczególności odniesienie do pracy Tompy na temat tego, dlaczego skierowana sprawa wydaje się trudna.

$k = \Theta(n)$$O(\log n)$$O(nm)$

$k$

Jeszcze jedna odpowiedź: jest kilka artykułów na temat algorytmów w stylu mapreduce działających na dużych wykresach. Celem jest uzyskanie przestrzeni o (m) na maszynę dla gęstych wykresów, ale zwykle potrzeba przestrzeni O (n) na maszynę.

teorii.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

$O(n\log n/ k)$$k$$n/k$$st$$n/k$$n/k$$st$