Wagaciągu binarnego to liczba jedynek w ciągu. Co się stanie, jeśli będziemy zainteresowani obliczeniem funkcji monotonicznej na wejściach z kilkoma?x ∈ { 0 , 1 } n
Wiemy, że podjęcie decyzji, czy wykres ma klasę jest trudne dla obwodów monotonicznych (patrz między innymi Alon Boppana, 1987), ale jeśli wykres ma na przykład co najwyżej krawędzie , możliwe jest znalezienie obwodu głębokości ograniczonego monotonicznie rozmiar który decyduje o klika.k 3 f ( k ) ⋅ n O ( 1 ) k
Moje pytanie: czy jest jakaś funkcja, którą trudno obliczyć za pomocą obwodu monotonicznego, nawet przy wejściach o masie mniejszej niż ? Tutaj hard oznacza rozmiar obwodu .n k Ω ( 1 )
Jeszcze lepiej: czy istnieje wyraźna funkcja monotoniczna, która jest trudna do obliczenia, nawet jeśli zależy nam tylko na wejściach wagi i ?k 2
Emil Jeřábek już zauważył, że znane dolne granice trzymać dla obwodów monotonicznych które oddzielają dwie klasy wejść ( -cliques vs maksymalnych -colorable wykresy), a tym samym na kosztach pewną niezależność w probabilistycznej argumentem jest to możliwe, aby go praca dla dwóch klas wprowadzania stałej masy. Spowoduje to, że będzie funkcją której chcę uniknąć.( a - 1 ) k 2 n
To, co naprawdę byłoby, to jawna twarda funkcja dla i znacznie mniejsza niż (jak w sparametryzowanej strukturze złożoności). Jeszcze lepiej, jeśli . k 2 n k 1 = k 2 + 1
Zauważ, że pozytywna odpowiedź dla oznaczałaby wykładniczą dolną granicę dla dowolnych obwodów.
Aktualizacja : To pytanie może być częściowo istotne.
źródło
Odpowiedzi:
biorąc pod uwagę jedną część pytania (np. dla = 1, k 2 = 2), Lokam badał funkcje „2-plasterek” w tym artykule i dowodzi, że można uogólnić silne dolne granice na nich, dlatego jest to bardzo trudne otwarty problem związany z separacją podstawowych klas złożoności i każda taka konstrukcja / wyraźna funkcja byłaby przełomem; z streszczenia:k1 k2)
podobnie jak w swoich komentarzach SJ omawia ten podobny przypadek w swojej książce w części poświęconej złożoności gwiazd na wykresach sec1.2.2.
źródło