Złożoność obwodu monotonicznego funkcji obliczeniowych na rzadkich wejściach

12

Wagaciągu binarnego to liczba jedynek w ciągu. Co się stanie, jeśli będziemy zainteresowani obliczeniem funkcji monotonicznej na wejściach z kilkoma?x { 0 , 1 } n|x|x{0,1}n

Wiemy, że podjęcie decyzji, czy wykres ma klasę jest trudne dla obwodów monotonicznych (patrz między innymi Alon Boppana, 1987), ale jeśli wykres ma na przykład co najwyżej krawędzie , możliwe jest znalezienie obwodu głębokości ograniczonego monotonicznie rozmiar który decyduje o klika.k 3 f ( k ) n O ( 1 ) kkk3fa(k)nO(1)k

Moje pytanie: czy jest jakaś funkcja, którą trudno obliczyć za pomocą obwodu monotonicznego, nawet przy wejściach o masie mniejszej niż ? Tutaj hard oznacza rozmiar obwodu .n k Ω ( 1 )knkΩ(1)

Jeszcze lepiej: czy istnieje wyraźna funkcja monotoniczna, która jest trudna do obliczenia, nawet jeśli zależy nam tylko na wejściach wagi i ?k 2k1k2)

Emil Jeřábek już zauważył, że znane dolne granice trzymać dla obwodów monotonicznych które oddzielają dwie klasy wejść ( -cliques vs maksymalnych -colorable wykresy), a tym samym na kosztach pewną niezależność w probabilistycznej argumentem jest to możliwe, aby go praca dla dwóch klas wprowadzania stałej masy. Spowoduje to, że będzie funkcją której chcę uniknąć.( a - 1 ) k 2 nza(za-1)k2)n

To, co naprawdę byłoby, to jawna twarda funkcja dla i znacznie mniejsza niż (jak w sparametryzowanej strukturze złożoności). Jeszcze lepiej, jeśli . k 2 n k 1 = k 2 + 1k1k2)nk1=k2)+1

Zauważ, że pozytywna odpowiedź dla oznaczałaby wykładniczą dolną granicę dla dowolnych obwodów.k1=k2)

Aktualizacja : To pytanie może być częściowo istotne.

MassimoLauria
źródło
2
Na twoje pierwsze (ogólne) pytanie (nie dotyczy Clique). Myślę, że nawet w przypadku wkładów z najwyżej wejściami jest bardzo trudny. Weź dwustronny wykres n × m G, gdzie m = o ( n ) . Przypisany do każdego wierzchołka u zmienna logiczna X u . Niech K G ( x ) jest monotoniczny logiczna funkcja którego minterms są x Ux V na krawędziach U V z G . Niech s ( G.2)n×msolm=o(n)uxufasol(x)xuxvuvsol Jest minimalny rozmiar obwodu monotonicznej które prawidłowo oblicza F G na wejściach z2 nich. Wówczas dowolna dolna granica s ( G ) ( 2 + c ) n dla stałej c > 0 oznaczałabywykładnicządolną granicę dlaobwodówniemotonowych. s(sol)fasol2)s(sol)(2)+do)ndo>0
Stasys,
1
Istniejące argumenty dla obwodów monotonicznych wymagają odrzucenia wielu wejść z wieloma ( ) . Najlepiej można to zrobić tak daleko jest do udowodnienia exp ( min { , n / b } 1 / 4 ) dolna granica, gdy obwód musi przyjąć wszystkie b -cliques i odrzuca kompletnymi -partite wykresy ( a < b ). Btw ważne jest to, że masz do czynienia z rzadkimi , a nie gęstymi wejściami. Powiedz kn/2)exp(min{za,n/b}1/4)bzaza<bk-Klique wymaga obwodów monotonicznych o wielkości około dla każdej stałej k 3 , ale ( n - k ) -Klique ma obwody monotoniczne o wielkości O ( n 2 log n ) dla każdej stałej k . nkk3)(n-k)O(n2)logn)k
Stasys,
Powinienem wyjaśnić, że zależy mi na rzadkich wejściach w sensie rzadkiego wykresu. Poszukiwanie kliki na bardzo rzadkim wykresie (z powiedzmy k 10 krawędziami) można wykonać w rozmiarze obwodu monotonicznego FPT. kk10
MassimoLauria,
Twój przykład w pierwszym komentarzu jest bardzo miły. Jeśli dobrze rozumiem, jest to podobny problem z funkcjami monotonicznymi, które są trudne przy stałej wadze . Używając funkcji pseudo-dopełniania do symulacji zanegowanych sygnałów wejściowych, złożoność obwodu nie różni się między przypadkiem monotonicznym i niemonotonowym. Dla stałej (lub małej) k ten pseudo-dopełniacz może być skutecznie zaimplementowany przez obwód monotoniczny. kk
MassimoLauria,
2
mój pierwszy komentarz opierał się na złożoności wykresu. Zjawisko „ ” można znaleźć na stronie 13 tego szkicu . A właściwie nie do końca rozumiem, co masz na myśli mówiąc, że „jesteś twardy dla k i k + 1”? (Moja wina, oczywiście.)(2)+do)n
Stasys,

Odpowiedzi:

2

biorąc pod uwagę jedną część pytania (np. dla = 1, k 2 = 2), Lokam badał funkcje „2-plasterek” w tym artykule i dowodzi, że można uogólnić silne dolne granice na nich, dlatego jest to bardzo trudne otwarty problem związany z separacją podstawowych klas złożoności i każda taka konstrukcja / wyraźna funkcja byłaby przełomem; z streszczenia:k1k2)

Funkcja boolowska f nazywana jest funkcją 2-segmentową, jeśli ocenia na zero na wejściach z mniej niż dwoma 1-i i ocenia na jeden na wejściach z więcej niż dwoma 1-je. Na wejściach z dokładnie dwoma 1-ymi f można zdefiniować nietradycznie. Istnieje naturalna zgodność między funkcjami 2-częściowymi i wykresami. Korzystając z ram złożoności wykresu, pokazujemy, że wystarczająco silne superliniowe monotoniczne dolne granice dla bardzo specjalnej klasy funkcji 2-segmentowych sugerowałyby superpolinomialne dolne granice na pełnej podstawie dla niektórych funkcji z nich pochodnych.

  • Złożoność wykresu i funkcje plastra / Satyanarayana V. Lokam, Theory Comput. Systems 36, 71–88 (2003)

podobnie jak w swoich komentarzach SJ omawia ten podobny przypadek w swojej książce w części poświęconej złożoności gwiazd na wykresach sec1.2.2.

vzn
źródło