Czy istnieje coś takiego jak słaby homomorfizm węglowy?

Biorąc pod uwagę endofunctor , można określić jako funkcje funkcji obserwacji, które dla każdej polimorficznej F -coalgebra, to znaczy o b e jest określona dla każdej F -coalgebra ⟨ A , c : A → F A ⟩ . o b e : ∀ ⟨ A , C ⟩ . A → B Innym sposobem patrzenia na funkcje obserwacyjne są funkcje ostateczne$F : Set \rightarrow Set$$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ -coalgebra,jeśli istnieje. Polimorfizm uzyskujemy automatycznie,łączącfunkcję obserwacyjną z unikalnym homomorfizmem do końcowej F- Coalgebra. Ale działa to tylko wtedy, gdyistniejeostateczna F- Coalgebra.$F$$F$$F$

Jedną z charakterystycznych cech funkcji obserwacyjnej jest to, że ze względu na polimorfizm anuluje on homomorfizm węgielgebry skomponowany po prawej stronie. Jeśli jest homomorfizmem F- Coalgebry, to: o b s = o b s ∘ h o m Podczas moich badań, próbując zdefiniować pojęcie spójności obserwacyjnej między jedną węgielną a drugą, wpadłem na pomysł słaby homomorfizm carbongebra. Chodzi o to, że możemy „sfałszować” homomorfizm węglowy, jeśli znamy funkcję obserwacyjną z wyprzedzeniem. Zatem możemy spełnić, o b s = o b $hom$$F$

$$obs = obs \circ hom$$ , ale tylko na jeden szczególności o b y . $$obs = obs \circ hom$$ $obs$

$FX = \{0,1\} \times X$$obs$

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ $obs$

$obs$

W moich badaniach pojęcie to byłoby przydatne, aby wykazać, że jedna węgielgebra jest obserwacyjnie spójna z drugą, pokazując, że każda skończona liniowa funkcja obserwacji ma słaby homomorfizm od pierwszej węgielnicy do drugiej węgielnicy. Innymi słowy, każdą skończoną obserwację liniową na pierwszej węgielnicy można odtworzyć na drugiej węgielnicy.

(Rozumiem przez to, że funkcja obserwacji liniowej jest w większości nieistotna, ale ze względu na współdzielenie ... Funkcja obserwacji liniowej to mniej więcej taka, która wykorzystuje każdy stan zestawu nośnego tylko raz. Próbuję wymodelować wyrocznię, a użytkownik nie może wrócić i udawać, że nigdy nie zadał pytania).

Moje pytania są zatem następujące:

1. Czy zostało to zbadane? Czy istnieją już „słabe homomorfizmy węglowe”, pod jakąś inną nazwą?

2. Czy istnieje bardziej „teoria kategorii”, jak to przedstawić?

Edycja : Usunięto dwa pytania, które nie są tak ważne.

Opisane przez ciebie „słabe morfizmy” mają nazwę w nieco ograniczonym otoczeniu. Można je również zdefiniować dość ogólnie, jak wyjaśnię.

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$. Przed węglembra logicy modalni badali n-krokowe bisimulacje dla ramek Kripkego, które stanowią n-krokowe bisymulacje dla węgielnic dla funktora powerset. Twoje wymaganie, aby były funkcjami w przeciwieństwie do relacji, czyni je funkcjonalnymi bimulacjami n-step.

$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

W każdym razie mam nadzieję, że to jest pomocne. Możesz znaleźć różne referencje, wyszukując w Google „terminal sekwencyjny carbongebra” lub „końcowa sekwencja carbongebra”.

Z reguły należy unikać mocno przeciążonej terminologii, takiej jak słaba, regularna, normalna itp., Chyba że pojęcie ma pewną uniwersalność. W szczególności wydaje się, że twoje pojęcie nie odpowiada zwykłemu pojęciu słabego homomorfizmu po przewróceniu strzałą.

Zawsze występują bardziej opisowe terminy, ilekroć robisz coś mniej uniwersalnego, na przykład „homomorfizm osłabiony obserwacyjnie”, być może skrócony do „homomorfizmu ow”.

Twoje pojęcie funkcji obserwacji zapewnia już teoretyczną prezentację kategorii. Martwiłbym się bardziej o wyjaśnienie, co to dokładnie znaczy i dlaczego jest interesujące, zamiast poszukiwania jak największej ogólności. W szczególności powinieneś zazwyczaj podawać przykładowy przykład, a nie przykład przy wprowadzaniu nietypowych pojęć w druku.