Funkcjonalna kompletność 3-wartościowej logiki

9

W kontekście niektórych ostatnich prac zdefiniowaliśmy język oparty na trójwartościowej logice à la Kleene, gdzie1 oznacza prawdę, 0 za fałsz i za błąd lub nie wiem. Aby pokazać, że nasz język jest ekspresyjny, chcieliśmy udowodnić, że możemy zbudować zestaw funkcjonalnie kompletnych operatorów.

Trudno było znaleźć istniejące wyniki w literaturze. Znaleźliśmy jeden artykuł napisany w 1962 r. Przez Jobe, który stwierdza następujące twierdzenie:

Jobe Theorem Paper 1962 (ograniczony dostęp).

Logika trójwartościowa E wyrażone w zestawie {1,2,3} i zdefiniowane przez operatorów ,E1 i E2podana poniżej jest funkcjonalnie kompletna.

   3  2  1  E1  E2 332131222112111123

W naszym artykule wykorzystaliśmy ten wynik, pokazując zgodność między naszymi operatorami a operatorami zdefiniowanymi przez Jobe (z grubsza mówiąc, używamy silnej koniunkcji, negacji i operatora, który przekształca niewiedzę w fałsz).

Moją główną troską jest to, że właściwie nie jestem w stanie zrozumieć dowodu funkcjonalnej kompletności Jobe i nie byliśmy w stanie znaleźć żadnego innego wyniku (pozytywnego lub negatywnego) po tej dacie, co jest nieco zaskakujące.

Moje pytanie brzmi więc: czy są jakieś bardziej znane wyniki dotyczące funkcjonalnej kompletności logiki trójwartościowej? Wszelkie informacje w tym kierunku byłyby pomocne.

Charles
źródło
The 3-element pola jest funkcjonalnie kompletny. The3-element Algebra słupkowa jest funkcjonalnie ukończona.
Emil Jeřábek
@ EmilJeřábek Dzięki, właśnie przeczytałem o Ternary Post Logic, i wydaje się, że to odpowiada (chociaż nie mogę znaleźć dużo na ten temat). Czy miałbyś jakieś odniesienia do pola 3-elementowego? Google jest trochę zbyt niejasne.
Charles
1
Nie mogę podać referencji, ale jest to prosty fakt: standardowa interpolacja (wielowymiarowa) oznacza, że ​​dowolną operację na polu skończonym można wyrazić wielomianem. Ponadto, jeśli pole jest liczbą pierwszą (taką jak tutaj), wówczas współczynniki wielomianu można zdefiniować stałymi składnikami (1+1++1). Zatem pierwsze pola w języku{+,,1}są funkcjonalnie kompletne.
Emil Jeřábek

Odpowiedzi:

2

Rozdziały 5 i 6 książki [Algebry funkcji na zbiorach skończonych, Dietlinde Lau, 2006] zawierają dogłębne podejście do funkcjonalnej kompletności w logice o wielu wartościach (w tym dowodach). Podsumowując: charakterystyka maksymalnych klonów przez Rosenberga [1965, 1970] (zwana także klonami niepełnymi) daje kryterium kompletności funkcjonalnej w logice wartości k dla dowolnego k.

Dla szczególnego przypadku logiki 3-wartościowej taką charakterystykę (składającą się z 18 maksymalnych / niepełnych klas) podał Jablonskij już w 1954 roku. Stąd, aby zweryfikować, czy twój zestaw 3-wartościowych „operatorów” jest funkcjonalnie kompletny, to wystarczy sprawdzić, czy nie należą one do żadnej z 18 niedokończonych klas.

Gustav Nordh
źródło