Dlaczego możliwości produkcyjne są wypukłe?

Być może mylisz dwie rzeczy.

$Q_1$ $Q_2$ $L_1 + L_2 = L$ $(Q_1,Q_2)$ $L_1,L_2,L_1',L_2'$

\begin{array}{rcl} μ \cdot Q_{1} (L_{1}) + (1 - μ) \cdot Q_{1} (L_{1}^{'}) & \leq & Q_{1} (μ \cdot L_{1} + (1 - μ) \cdot L_{1}^{'}) \\ μ \cdot Q_{2} (L_{2}) + (1 - μ) \cdot Q_{2} (L_{2}^{'}) & \leq & Q_{2} (μ \cdot L_{2} + (1 - μ) \cdot L_{2}^{'}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mu \cdot Q_1(L_1) + (1-\mu) \cdot Q_1(L_1') & \leq & Q_1(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1') \\ \\ \mu \cdot Q_2(L_2) + (1-\mu) \cdot Q_2(L_2') & \leq & Q_2(\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2'). \end{eqnarray*}$

Q_{1}

$Q_1$

Q_{2}

$Q_2$

Q_{1} + Q_{2}

$Q_1 + Q_2$

$Q_1$ $Q_2$ $L_1, L_2$ $Q_w$ $L_1$ $L_2$

$Q_w(L_1,L_2)$ $L_1,L_2,L_1',L_2'$ $\mu \in [0,1]:$

\begin{array}{rcl} μ \cdot Q_{w} (L_{1}, L_{2}) + (1 - μ) \cdot Q_{w} (L_{1}^{'}, L_{2}^{'}) & \leq & Q_{w} (μ \cdot L_{1} + (1 - μ) \cdot L_{1}^{'}, μ \cdot L_{2} + (1 - μ) \cdot L_{2}^{'}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mu \cdot Q_w(L_1,L_2) + (1-\mu) \cdot Q_w(L_1',L_2') & \leq & Q_w(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1',\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2'). \end{eqnarray*}$

Q_{1}

$Q_1$

Q_{2}

$Q_2$

\begin{array}{rcl} μ \cdot Q_{1} (L_{1}) + (1 - μ) \cdot Q_{1} (L_{1}^{'}) & \leq & Q_{1} (μ \cdot L_{1} + (1 - μ) \cdot L_{1}^{'}) \\ μ \cdot Q_{2} (L_{2}) + (1 - μ) \cdot Q_{2} (L_{2}^{'}) & \leq & Q_{2} (μ \cdot L_{2} + (1 - μ) \cdot L_{2}^{'}) . \end{array}

\begin{array}{rcl} μ \cdot (Q_{1} (L_{1}) + Q_{2} (L_{2})) + (1 - μ) \cdot (Q_{1} (L_{1}^{'}) + Q_{2} (L_{2}^{'})) \leq \\ \leq Q_{1} (μ \cdot L_{1} + (1 - μ) \cdot L_{1}^{'}) + Q_{2} (μ \cdot L_{2} + (1 - μ) \cdot L_{2}^{'}) . \end{array}

Q_{w} (L_{1}, L_{2}) = Q_{1} (L_{1}) + Q_{2} (L_{2})

$Q_w(L_1,L_2) = Q_1(L_1) + Q_2(L_2)$

\begin{array}{rcl} μ \cdot (Q_{1} (L_{1}) + Q_{2} (L_{2})) + (1 - μ) \cdot (Q_{1} (L_{1}^{'}) + Q_{2} (L_{2}^{'})) \leq \\ \leq Q_{1} (μ \cdot L_{1} + (1 - μ) \cdot L_{1}^{'}) + Q_{2} (μ \cdot L_{2} + (1 - μ) \cdot L_{2}^{'}) \\ μ \cdot (Q_{w} (L_{1}, L_{2})) + (1 - μ) \cdot (Q_{w} (L_{1}^{'}, L_{2}^{'})) \leq \\ \leq Q_{w} (μ \cdot L_{1} + (1 - μ) \cdot L_{1}^{'}, μ \cdot L_{2} + (1 - μ) \cdot L_{2}^{'}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mu \cdot \left(Q_1(L_1) + Q_2(L_2)\right) + (1-\mu) \cdot \left(Q_1(L_1') + Q_2(L_2')\right) \leq \\ \leq Q_1(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1') + Q_2(\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2') \\ \\ \mu \cdot \left(Q_w(L_1,L_2)\right) + (1-\mu) \cdot \left(Q_w(L_1',L_2')\right) \leq \\ \leq Q_w(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1',\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2'). \end{eqnarray*}$

Giskard
źródło

Fajnie, moja wina, że nie jestem tak precyzyjna. W rzeczywistości Q1 i Q2 to produkcja różnych towarów w tym samym kraju, z zastrzeżeniem ograniczenia L1 + L2 = L .. Nie mam nic przeciwko intuicji, ale chciałbym zobaczyć matematyczny dowód. Czy Qw = Q1 + Q2 nie powinno być funkcją wklęsłą, a tym samym określać lepsze zestawy wypukłe?

Raul Guarini

Q_{w} = Q_{1} + Q_{2}

$Q_w = Q_1 + Q_2$

Dlaczego możliwości produkcyjne są wypukłe?

Odpowiedzi: