dominacja stochastyczna drugiego rzędu bez tej samej wartości

Niech $F$ i $G$ będą dwoma rozkładami o tej samej średniej. Mówi się, że drugiego rzędu dominuje stochastycznie ( SOSD ) G, jeśli ∫ u ( x ) d F ( x ) ≥ ∫ u ( x ) d G ( x ) dla wszystkich narastających i wklęsłych u ( ⋅ ) .$F$$G$

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ $u(\cdot)$

Powyższa definicja jest równoważna

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

Powiedziano mi, że wymóg posiadania takich samych środków przez $F$ i $G$ nie jest tak naprawdę konieczny. Załóżmy, $F$ i $G$ mają nie mieć taką samą średnią. Czy możemy nadal mieć równoważność między $(1)$ a $(2)$ ?

Uwaga: byłem w stanie pokazać $(2)\Rightarrow (1)$ bez tego samego średniego warunku, ale nie na odwrót.

$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

$F$$G$