Implikacja dominacji stochastycznej pierwszego rzędu

-1

Za pomocą wskaźnika użyteczności U(x)=x , aby udowodnić, że jeśli rozkład pierwszego rzędu stochastycznie dominuje dystrybucji , a średnia pod nie może przekraczać wartość średnią pod .Fx G x F.GxGxF

Próba dowodu - Załóżmy, że jest pierwszego rzędu stochastycznie dominuje czym Ponieważ oczekiwana zachowuje liniowość to stąd, żeFG

F(x)G(x)  x
E[F(x)]E[G(x)]  x

Nie jestem pewien, czy jest to poprawne czy wystarczająco rygorystyczne. Wszelkie sugestie są bardzo mile widziane.

Wolfy
źródło
Co zachowanie liniowości ma wspólnego z którymkolwiek z nich ...?
Giskard

Odpowiedzi:

4

Dostajemy dwa CDF-y i , takie, że FOSD tj. . Rozważmy zmiennych losowych i . Załóżmy również, że i przyjmują wartości nieujemne.G F G F ( x ) G ( x ) x X F Y G X YFGFGF(x)G(x) xXFYGXY

Chcemy pokazać, że .E(X)E(Y)

Oto intuicja: oznacza, że ​​prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze niż x, jest mniejsze niż prawdopodobieństwo, że Y przyjmuje wartości mniejsze niż x , i dotyczy to co x . Dlatego X ma wyższe wartości niż x częściej niż Y trwa wskazując, że X będzie miał wyższą średnią niż Y .x XF(x)G(x) xXxYxxXxYXY

Oto dowód:

F(x)G(x)   x1F(x)1G(x)   x01F(x)dx01G(x)dx0Pr(X>x)dx0Pr(Y>x)dx0xfX(a)dadx0xfY(a)dadx00afX(a)dxda00afY(a)dxda00adx fX(a) da00adx fY(a) da0a fX(a) da0a fY(a) daE(X)E(Y) 
Amit
źródło