Za pomocą wskaźnika użyteczności , aby udowodnić, że jeśli rozkład pierwszego rzędu stochastycznie dominuje dystrybucji , a średnia pod nie może przekraczać wartość średnią pod .x G x F.
Próba dowodu - Załóżmy, że jest pierwszego rzędu stochastycznie dominuje czym Ponieważ oczekiwana zachowuje liniowość to stąd, że
Nie jestem pewien, czy jest to poprawne czy wystarczająco rygorystyczne. Wszelkie sugestie są bardzo mile widziane.
utility
financial-economics
Wolfy
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Dostajemy dwa CDF-y i , takie, że FOSD tj. . Rozważmy zmiennych losowych i . Załóżmy również, że i przyjmują wartości nieujemne.G F G F ( x ) ≤ G ( x ) ∀ x X ∼ F Y ∼ G X YF G F G F(x)≤G(x) ∀x X∼F Y∼G X Y
Chcemy pokazać, że .E(X)≥E(Y)
Oto intuicja: oznacza, że prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze niż x, jest mniejsze niż prawdopodobieństwo, że Y przyjmuje wartości mniejsze niż x , i dotyczy to co x . Dlatego X ma wyższe wartości niż x częściej niż Y trwa wskazując, że X będzie miał wyższą średnią niż Y .∀ x XF(x)≤G(x) ∀x X x Y x x X x Y X Y
Oto dowód:
źródło