Kiedy nie powiedzie się optymalna kontrola (?)

Aby „zadać moje pytanie”, muszę najpierw rozwiązać model. Pominę kilka kroków, ale nadal nieuchronnie spowoduje to, że ten post będzie bardzo długi - więc jest to również test, aby sprawdzić, czy ta społeczność lubi takie pytania.

Zanim zacznę, wyjaśniam, że może to wyglądać całkowicie jak standardowy neoklasyczny model wzrostu w ciągłym czasie, ale tak nie jest : dotyczy jednej osoby, która nie „reprezentuje” nikogo w otaczającej go gospodarce, gospodarki, która nie jest modelowany. Ramy tutaj to „zastosowanie Optimal Control do problemu maksymalizacji pojedynczej osoby”. Chodzi o strukturę rozwiązania Optimal Control i samą metodę.

Rozwiązujemy międzyokresowy problem maksymalizacji użyteczności małego biznesmena, który jest właścicielem kapitału w swojej firmie, podczas gdy on kupuje usługi pracy na doskonale konkurencyjnym rynku pracy i sprzedaje swój produkt (świeże pączki) na doskonale konkurencyjnym rynku towarów. Ustawiamy model w ciągłym czasie bez niepewności (warunki społeczno-ekonomiczne są stabilne) i z nieskończonym horyzontem (biznesmen przewiduje wiele przyszłych jego kopii z rzędu):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

gdzie to konsumpcja biznesmena, \ c c jest natychmiastową użytecznością od konsumpcji, \ rho> 0 to stopa czystej preferencji czasowej, k to kapitał firmy, \ delta to stopa amortyzacji kapitału, a f (k, \ ell) jest funkcją produkcyjną firmy. Podano początkowy poziom kapitału, k_0 . Własny zawód biznesmena w biznesie jest zaliczany do kapitału. Funkcja produkcji jest standardowa neoklasyczna (stałe powroty do skali, dodatnie produkty krańcowe, ujemne częściowe drugiej części, warunki Inady). Ograniczeniami są prawo ruchu kapitału i warunek transwersalności wykorzystujący bieżący mnożnik wartości. $c$$\ln c$$\rho>0$$k$$\delta$$f(k,\ell)$$k_0$

Ustawienie bieżącej wartości Hamiltonian

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

obliczamy warunki pierwszego rzędu

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

łącząc je, uzyskujemy prawo ewolucji konsumpcji naszego biznesmena,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

Z optymalnej reguły dla popytu na pracę (statyczny) i stałej powrotu do implikacji skali ( ) otrzymujemy . Wpisujemy to w prawo ruchu kapitału, które otrzymujemy$\ell: f_{\ell} =w$$f = f_kk + f_{\ell}\ell$$f-w\ell = f_kk$

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

Równania i tworzą układ równań różniczkowych. Wartości stanu konsumpcji i kapitału przedsiębiorcy w stanie ustalonym wynoszą$(1)$$(2)$

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

... co jest dość znanym wyrażeniem.

$k^*$ jest czasem nazywany poziomem kapitału „zmodyfikowanej złotej reguły”. Jakobian systemu ocenianego przy wartościach stanu ustalonego ma negatywny wyznacznik dla dowolnej wartości parametrów modelu , co jest niezbędnym i wystarczającym warunkiem dla układu, aby wykazywał stabilność ścieżki siodłowej.

Maksymalne miejsce znajduje się w punkcie, (czasami nazywany poziomem kapitału „złotej reguły”)$\dot k =0$$\tilde k$

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

Wartość jest ważna jako punkt odniesienia: jest to poziom kapitału, gdzie i jest na poziomie maksymalnym (stan nieoptymalny lub stały ).$\tilde k$$\dot k =0$$c$

loci przecina oś poziomą wykresu fazowego (czyli środki inwestycyjne) na poziomie kapitał stacjonarnego .$\dot c=0$$k^*$

Jeśli , co wymaga powodu ujemnych drugich części, będziemy mieli „nadmierną akumulację kapitału” (zbyt wiele pączków): biznesmen może cieszyć się bardziej stabilnym- konsumpcja państwowa o niższym poziomie kapitału. Używając i mamy$k^* > \tilde k$$f_k^* < f_k(\tilde k)$$(3)$$(4)$

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

Nierówność jest warunkiem nieoptymalnego poziomu kapitału w stanie ustalonym. Chodzi o to, że nie możemy tego wykluczyć . Po prostu wymaga, aby biznesmen był „wystarczająco cierpliwy”, z odpowiednio niewielkim odsetkiem czystych preferencji czasowych, ale nadal pozytywny.$(5)$

Tu zaczyna się problem: nadmierna akumulacja kapitału jest skutecznie wykluczona w reprezentatywnym modelu agenta. Jest to możliwe w pokrywających się modelach generacji, ale jako niezamierzona konsekwencja na poziomie makroekonomicznym, jeden z najwcześniejszych przykładów, że makroekonomia może być mikro-założona i nadal zachowuje się inaczej niż mikroświat.

Ale nasz model nie należy do żadnej kategorii: jest to model częściowej równowagi pojedynczego czynnika w domniemanym heterogenicznym środowisku - a równowaga ogólna tutaj nie zmieni wyników: ta osoba reprezentuje tylko siebie. Problem polega na tym, że jeśli utrzymuje, wówczas rozwiązanie Optimal Control będzie oczywiście nieoptymalne$(5)$ , ponieważ tutaj mamy jedną osobę, jedną wolę, jeden umysł: patrząc na rozwiązanie nasz biznesmen powie: hej, ta metoda jest bezwartościowa, jeśli zastosuję się do jej rady, otrzymam nieoptymalnie wysoki poziom kapitału ”.

Nie jestem zadowolony z tego, że mogę powiedzieć „dobrze, Optymalna kontrola nie jest odpowiednia dla tego problemu, spróbuj innej metody”, ponieważ nie rozumiem, dlaczego powinniśmy uznać to za nieodpowiednie. Ale jeśli jest to odpowiednie, wówczas metoda powinna zasygnalizować, że coś jest nie tak, w pewnym momencie powinna wymagać, aby się nie utrzymywało, aby móc zaoferować rozwiązanie (jeśli tak się stanie, że nie trzymaj, wszystko wygląda puchnie).$(5)$$(5)$

Można się zastanawiać „może warunek Transwersalności zostanie naruszony, jeśli utrzyma?” -Ale to nie wygląda tak, ponieważ , która przechodzi do dodatniej stałej, podczas gdy przechodzi do zero, wymagając tylko, że .$(5)$$\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$$e^{-\rho t}$$\rho>0$

Moje pytania:

1) Czy ktoś może tu zaoferować wgląd?

2) Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś rozwiązał to za pomocą programowania dynamicznego i podał wyniki.

DODATEK
Z matematycznego punktu widzenia zasadniczą różnicą tego modelu jest to, że zoptymalizowane prawo ruchu kapitału, równ. nie obejmuje całej produkcji jak w modelu standardowym, ale tylko zwroty z kapitału . Dzieje się tak, ponieważ rozdzieliliśmy prawa własności w stosunku do wyników, których należy oczekiwać w ramach „problemu maksymalizacji indywidualnego biznesu”.$(2)$$f(k)$$f_kk$

Uważam, że problem polega na tym, że stan ustalony może nie istnieć, a system zamiast tego wykazuje stały wzrost (w zależności od parametrów).

Powodem jest to, że model odpowiada standardowemu problemowi oszczędzania konsumpcji z egzogeniczną i stałą stopą procentową. Aby to zobaczyć, najpierw rozważ warunek pierwszego rzędu dla wyboru pracy (tutaj f i jest częściową pochodną f wrt. tego argumentu). Stosując definicję stałych zwrotów, krańcowy produkt pracy jest funkcją jedynie stosunku kapitału do pracy. Jeśli płaca jest stała, FOC pracy jednoznacznie określa optymalny stosunek jako funkcję płacy i innych parametrów. Od krańcowego produktu kapitału $f_2(k,\ell) = w$$f_i$$f$$i$

$$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$$w$ $$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ również zależy od , będzie stały wzdłuż optymalnej ścieżki. Oznacz tę wartość produktu krańcowego i oznacz zysk netto bez amortyzacji a konkretnym rozwiązaniem spełniającym warunek poprzeczności powinien być z podanym , tzn. w każdym momencie konsumowana jest stała część bogactwa. Zarówno kapitał, jak i konsumpcja rosną w tempie$k/\ell$$r^*$$r = r^* - \delta$ . Są to równania (1) - (2) dla dynamiki kapitału i konsumpcji $$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$$ $c_t = \rho k_t$$k_0$$(r-\rho)$, więc nie ma stanu ustalonego, chyba że zwrot z kapitału (który zależy tutaj od egzogenicznej stawki płacy ) jest równy stopie preferencji czasowej.$w$

Podaję to jako odpowiedź, ponieważ kontynuuje on odpowiedź użytkownika @ivansml ... która jest tym, który zidentyfikował tutaj haczyk, hak, który naiwnie przeoczyłem (chociaż jest to wąski przypadek, a ciekawy par jest później. Niemniej jednak należało się tym zająć).

Rzeczywiście, przy egzogenicznej stawce płac i doskonale konkurencyjnej optymalizacji popytu na pracę, krańcowy produkt kapitału determinują tylko parametry modelu i stopa płacy. W prostym przypadku, w którym zakładamy, że stawka płacy jest stała, analiza @ivansml utrzymuje: model staje się endogenicznym wzrostem : krańcowy produkt kapitału jest stały, co jest potrzebne do endogenicznego wzrostu, gdzie nie ma stałego stan w poziomach .

$\hat c = \dot c/c$$\hat k = \dot k /k$$(1)$$(2)$

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

$f_k$$(2b)$

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

$\hat k = \hat c$$(2b)$$c = \rho k$$\lambda(t) = c(t)$ jedynym warunkiem utrzymania warunku przekrojowości jest wzrost konsumpcji i kapitału lub spadek w tym samym tempie (lub pozostanie stały).

W modelach wzrostu endogennego, w których badamy całą gospodarkę, po prostu zakładamy że parametry modelu są takie, że istnieje dodatnia stopa wzrostu, ponieważ to właśnie obserwujemy w świecie rzeczywistym. Ale tutaj mamy tylko jedną osobę. Co więc możemy powiedzieć naszemu biznesmenowi?

$f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$$c= \rho k$

$\rho$

Naprawdę interesująca część rozpocznie jeśli weźmiemy pod uwagę zmienną płacę . Może to stworzyć różnego rodzaju interesującą i skomplikowaną dynamikę dla naszego małego biznesmena i jego decyzji dotyczących inwestycji konsumpcyjnych.

$w$$w$$k$$k$