Optymalne dla konsumenta w gospodarce z ciągłością towarów

Rozważ gospodarkę z ciągłością towarów, z jednym towarem na każdy punkt w .$[0,1]$

Załóżmy, że konsument chce zmaksymalizować zastrzeżeniem ∫ 1 0 p i c

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ gdzie c i jest kwotą i-tego zużytego towaru, p i jego ceną, a M dochodem pieniężnym konsumenta. $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Tego rodzaju problem pojawia się na przykład przy stosowaniu modelu Dixita-Stiglitza w makroekonomii lub handlu międzynarodowym.

Rozwiązaniem tego problemu jest podobno gdzieAjest stałą wybraną w celu zapewnienia, że ​​ograniczenie budżetowe jest spełnione.

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ $A$

Nie jestem bardzo zadowolony z pochodnych tego wyniku, które wykorzystują mnożniki Lagrange'a analogicznie do przypadku skończonej liczby towarów. Jaka byłaby całkowicie matematycznie rygorystyczna metoda uzyskania powyższego wyniku?

Wydaje się jasne, że nie ma unikalnego rozwiązania, ponieważ dowolna zmiana wartości dla skończonej liczby wartości i pozostawi całki w funkcji użyteczności i ograniczenie budżetowe pozostanie niezmienione. Oczekuję, że całkowicie rygorystyczne wyprowadzenie również poprawnie wskaże ten stopień niejednoznaczności.$c_i$$i$

EDYCJA: W odpowiedzi na komentarze @BKay, @Ubiquitous. Mój problem z rozpoczynaniem od gospodarek z towarami i przyjmowaniem limitu jako n → ∞ polega na tym, że musi temu towarzyszyć argument, który pokazuje, że granica optymów jest optymalna dla problemu z limitem. Byłbym wdzięczny za odniesienie do wyniku, który pokazuje to albo dla tego konkretnego problemu, albo ogólny wynik, który ma zastosowanie do tego problemu.$n$$n \to \infty$

W odpowiedzi na @AlecosPapadopoulos. Dowody metody mnożnikowej Langrange'a nauczanej z matematyki na kursach ekonomicznych są zwykle dla skończonej liczby zmiennych wyboru. Byłbym wdzięczny za odniesienie do tego, gdzie metoda jest uzasadniona dla ciągłości zmiennych wyboru. Również wspomniana powyżej niepowtarzalność pokazuje, że metoda nie może być dokładnie poprawna. Jakie zatem są kwalifikacje wymagane do jego ważności?

Całkowicie rygorystyczną rzeczą byłoby napisanie równania Lagrange'a Eulera dla tego rachunku różniczkowego, da to mocne rozwiązanie, które masz, lub słabe rozwiązanie, które jest napisane w odniesieniu do rozkładu.

Jak zauważył OP w komentarzu, Twierdzenie 1 w części 12 Kolomogorova i Rachunek Zmienności Fomina wydają się zapewniać pewien komfort, że rzeczywiście możemy zastosować metodę Mnożnika Langrange'a, gdy liczba naszych zmiennych jest nieskończona. Mimo to autorzy robią to w przypisie, pisząc „czytelnik łatwo rozpozna analogię do mnożników Langrange'a”. Więc nie, to nie pokazuje rygorystycznie, czego chcemy.

Myślę, że potrzebujemy papieru takiego jak Craven, BD (1970). Uogólnienie mnożników Lagrange'a. Biuletyn Australian Mathematical Society, 3 (03), 353-362. który w podsumowaniu pisze:

Metoda mnożników Lagrange'a służąca do rozwiązania problemu ograniczonej wartości stacjonarnej jest uogólniona, aby umożliwić funkcjom przyjmowanie wartości w dowolnych przestrzeniach Banacha (nad polem rzeczywistym). Pokazano, że zbiór mnożników Lagrange'a w problemie o skończonych wymiarach jest zastępowany ciągłym odwzorowaniem liniowym między odpowiednimi przestrzeniami Banacha.

To jest matematyka, ale mówi to, co chcieliśmy usłyszeć (w Wikipedii można znaleźć krótką ekspozycję w stopniu, w jakim ufa treści).

Następnie możemy utworzyć Lagrangean problemu

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

i obliczyć warunki pierwszego rzędu, mówiąc nieformalnie, „patrząc na całkę i widząc sumę”,

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... kontinuum warunków. Do późniejszego wykorzystania definiujemy

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

$\sigma$

$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

$j$

To tylko rozwinięcie odpowiedzi udzielonej przez @ user157623. Dla wygody publikuję go jako wiki społeczności.

Twierdzenie 1 w sekcji 12 Kołmogorowa i rachunek wariacyjny Fomina mówi

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

$K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Jedyny haczyk ma charakter samego twierdzenia. Daje to niezbędne warunki dla optymalnego. Biorąc pod uwagę, że w naszym przypadku niezbędny warunek daje niepowtarzalny wynik, wszystko, co musimy uczynić wystarczającym, to argument, że nasz problem ma rozwiązanie.

Dowody w Kolmogorov-Fomin zakładają, że funkcje, z którymi mamy do czynienia, mają ciągłe pierwsze pochodne. Musimy więc nadal wykazać, że problem konsumenta ma optymalne funkcje w tej klasie funkcji, ale biorąc pod uwagę, że problem został rozwiązany.